Метод k-ближайших соседей

Пример классификации $k$-ближайших соседей. Тестовый образец (зелёный круг) должен быть классифицирован как синий квадрат (класс 1) или как красный треугольник (класс 2). Если k = 3, то он классифицируется как 2-й класс, потому что внутри меньшего круга 2 треугольника и только 1 квадрат. Если k = 5, то он будет классифицирован как 1-й класс (3 квадрата против 2 треугольников внутри большего круга)

Метод $k$-ближайших соседей (англ. k-nearest neighbors algorithm, k-NN) — метрический алгоритм для автоматической классификации объектов или регрессии.

В случае использования метода для классификации объект присваивается тому классу, который является наиболее распространённым среди $k$ соседей данного элемента, классы которых уже известны. В случае использования метода для регрессии, объекту присваивается среднее значение по $k$ ближайшим к нему объектам, значения которых уже известны.

Алгоритм может быть применим к выборкам с большим количеством атрибутов (многомерным). Для этого перед применением нужно определить функцию расстояния; классический вариант такой функции — евклидова метрика.

Нормализация

Разные атрибуты могут иметь разный диапазон представленных значений в выборке (например атрибут А представлен в диапазоне от 0.1 до 0.5, а атрибут Б представлен в диапазоне от 1000 до 5000), то значения дистанции могут сильно зависеть от атрибутов с бо́льшими диапазонами. Поэтому данные обычно подлежат нормализации. При кластерном анализе есть два основных способа нормализации данных: минимакс-нормализация и Z-нормализация.

Минимакс-нормализация осуществляется следующим образом:

$x'=(x-\min[X])/(\max[X]-\min[X])$,

в этом случае все значения будут лежать в диапазоне от 0 до 1; дискретные бинарные значения определяются как 0 и 1.

Z-нормализация:

$x'=(x-M[X])/\sigma [X]$

где $\sigma$ — среднеквадратичное отклонение; в этом случае большинство значений попадёт в диапазон $(-3\sigma ;3\sigma )$.

Выделение значимых атрибутов

Некоторые значимые атрибуты могут быть важнее остальных, поэтому для каждого атрибута может быть задан в соответствие определённый вес (например вычисленный с помощью тестовой выборки и оптимизации ошибки отклонения). Таким образом, каждому атрибуту $k$ будет задан в соответствие вес $z_{k}$, так что значение атрибута будет попадать в диапазон $[0;z_{k}\max(k)]$ (для нормализованных значений по минимакс-методу). Например, если атрибуту присвоен вес 2,7, то его нормализованно-взвешенное значение будет лежать в диапазоне $[0;2,7]$

Взвешенный способ

При взвешенном способе во внимание принимается не только количество попавших в область определённых классов, но и их удалённость от нового значения.

Для каждого класса $j$ определяется оценка близости:

$Q_{j}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{d(x,a_{i})^{2}}}$,

где $d(x,a_{i})$ — расстояние от нового значения $x$ до объекта $a_{i}$.

У какого класса выше значение близости, тот класс и присваивается новому объекту.

С помощью метода можно вычислять значение одного из атрибутов классифицируемого объекта на основании дистанций от попавших в область объектов и соответствующих значений этого же атрибута у объектов:

$x_{k}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{k_{i}d(x,a_{i})^{2}}}{\sum _{i=1}^{n}{d(x,a_{i})^{2}}}}$,

где $a_{i}$ — $i$-ый объект, попавший в область, $k_{i}$ — значение атрибута $k$ у заданного объекта $a_{i}$, $x$ — новый объект, $x_{k}$ — $k$-ый атрибут нового объекта.

Ссылки

• kNN и Потенциальная энергия (апплет), Е. М. Миркес и университет Лейстера. Апплет позволяет сравнивать два метода классификации.
• Daniel T. Larose, Discovering Knowledge in Data: An Introduction to Data Mining (https://web.archive.org/web/20140531051709/http://eu.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471666572.html)