Метод k-ближайших соседей

Пример классификации k-ближайших соседей. Тестовый образец (зелёный круг) должен быть классифицирован как синий квадрат (класс 1) или как красный треугольник (класс 2). Если k = 3, то он классифицируется как 2-й класс, потому что внутри меньшего круга 2 треугольника и только 1 квадрат. Если k = 5, то он будет классифицирован как 1-й класс (3 квадрата против 2 треугольников внутри большего круга)

Метод k-ближайших соседей (англ. k-nearest neighbors algorithm, k-NN) — метрический алгоритм для автоматической классификации объектов или регрессии.

• В случае использования метода для классификации объект присваивается тому классу, который является наиболее распространённым среди $k$ соседей данного элемента, классы которых уже известны.
• В случае использования метода для регрессии, объекту присваивается среднее значение по $k$ ближайшим к нему объектам, значения которых уже известны.

Определение дистанции

Алгоритм может быть применим к выборкам с большим количеством атрибутов (многомерным). Для этого перед применением нужно определить функцию дистанции. Классический вариант определения дистанции — дистанция в евклидовом пространстве.

Нормализация

Однако разные атрибуты могут иметь разный диапазон представленных значений в выборке (например атрибут А представлен в диапазоне от 0.1 до 0.5, а атрибут Б представлен в диапазоне от 1000 до 5000), то значения дистанции могут сильно зависеть от атрибутов с бо́льшими диапазонами. Поэтому данные обычно подлежат нормализации. При кластерном анализе есть два основных способа нормализации данных:

• Мини-макс нормализация.

$x'=(x-MIN[X])/(MAX[X]-MIN[X])$

В этом случае все значения будут лежать в диапазоне от 0 до 1. Дискретные бинарные значения определяются как 0 и 1.

• Z-нормализация.

$x'=(x-M[X])/\sigma [X]$

где σ — стандартное отклонение. В этом случае большинство значений попадет в диапазон (-3;3)

Выделение значимых атрибутов

Некоторые значимые атрибуты могут быть важнее остальных, поэтому для каждого атрибута может быть задан в соответствие определенный вес (например вычисленный с помощью тестовой выборки и оптимизации ошибки отклонения). Таким образом, каждому атрибуту $k$ будет задан в соответствие вес $z_{k}$, так что значение атрибута будет попадать в диапазон $[0;z_{k}max(k)]$ (для нормализованных значений по методу мини-макс). Например, если атрибуту присвоен вес 2.7, то его нормализованно-взвешенное значение будет лежать в диапазоне $[0;2.7]$

Взвешенный способ

Определение класса

При таком способе во внимание принимается не только количество попавших в область определенных классов, но и их удаленность от нового значения.

Для каждого класса j определяется оценка близости:

$Q_{j}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{d(x,a_{i})^{2}}}$, где d(x, a) — дистанция от нового значения x до объекта а.

У какого класса выше значение близости, тот класс и присваивается новому объекту.

Определение непрерывной величины

С помощью этого метода можно вычислять значение одного из атрибутов классифицируемого объекта на основании дистанций от попавших в область объектов и соответствующих значений этого же атрибута у объектов.

$x_{k}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{k_{i}d(x,a_{i})^{2}}}{\sum _{i=1}^{n}{d(x,a_{i})^{2}}}}$,

где

$a_{i}$ — i-ый объект, попавший в область

$k_{i}$ — это значение атрибута $k$ у заданного объекта $a_{i}$ (примечание для корректоров: было бы неплохо заменить $k_{i}$ на значение вложенного индекса (a_k_i))

$x$ — новый объект

$x_{k}$ — k-ый атрибут нового объекта

Ссылки

• kNN и Потенциальная энергия (апплет), Е. М. Миркес и университет Лейстера. Апплет позволяет сравнивать два метода классификации.
• Daniel T. Larose, Discovering Knowledge in Data: An Introduction to Data Mining (http://eu.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471666572.html)