Метрика Васерштейна

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Метрика Васерштейна — естественная метрика на пространстве вероятностных мер в метрическом пространстве.

Интуитивно, если каждая мера измеряет распределение «грунта» по метрическому пространству М, то расстояние Васерштейна измеряет минимальную стоимость преобразования одного распределения грунта в другое, при этом предполагается, что стоимость прямо пропорциональна количеству грунта и расстоянию, на которое его надо перетащить.

Название «метрика Васерштейна» было предложено Добрушиным в 1970 году, в честь Леонида Васерштейна (англ. Leonid Vaseršteĭn), который рассматривал её в 1969 году.

Определение[править | править код]

Пусть (Md) — метрическое пространство, для которого каждая вероятностная мера на М является мерой Радона.

Для р ≥ 1, пусть Рp(М) обозначает совокупность всех вероятностных мер μ на M с конечным p-м моментом: то есть для некоторой (а значит и для любой) точки х0 в М, имеем

Тогда p-я метрика Васерштейна Wр(μ,ν) между двумя вероятностными мерами μ и ν в Рp(М) определяется как

где Γ(μν) обозначает совокупность всех мер по M × M с маргиналами μ и ν на первый и второй факторы соответственно. (Множество мер Γ(μν) также называют совокупность всех спариваний μ с ν.)

Свойства[править | править код]

  • Сходимость в этой метрике эквивалентна слабой сходимости мер плюс сходимость первого p-го момента.
  • Дуальное определение W1 является частным случаем теоремы двойственности Канторовича — Рубинштейна (1958): если μ и ν имеют ограниченный носитель, то
где супремум берётся по всем 1-липшицевым функциям f.
  • Для любого p ≥ 1, метрическое пространство (Pp(М), Wр) является сепарабельным и полным, если (М, d) сепарабельно и полнo[1].

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Bogachev, V.I.; Kolesnikov, A.V. The Monge-Kantorovich problem: achievements, connections, and perspectives (англ.) // Успехи математических наук : journal. — Российская академия наук. — Vol. 67. — P. 785—890. — DOI:10.1070/RM2012v067n05ABEH004808.

Литература[править | править код]