Минимальная поверхность

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Costa's Minimal Surface.png

Минимальная поверхность — гладкая поверхность с нулевой средней кривизной. Название объясняется тем, что гладкая поверхность с заданным контуром минимизирующая площадь является минимальной.

Примеры[править | править код]

Свойства[править | править код]

  • Асимптотические линии на минимальной поверхности образуют изотермическую сеть.
  • Вообще говоря мнимальная поверхность с краем может не иметь минимальной площади среди всех поверхностей с данным контуром. Но любая точка минимальной поверхности содержится в диске минимизирущем площадь при данном контуре.
    • Более того, если компактная минимальная поверхность является графиком гладкой функции, то она является минимизирует площадь среди всехповерхностей с данной границей.[1]
  • Формула монотонности

История[править | править код]

Первые исследования минимальных поверхностей восходят к Лагранжу (1768), который рассмотрел следующую вариационную задачу: найти поверхность наименьшей площади, натянутую на данный контур. Предполагая искомую поверхность задаваемой в виде , Лагранж получил, что эта функция должна удовлетворять уравнению Эйлера — Лагранжа.

Позже Монж (1776) обнаружил, что условие минимальности площади приводит к условию , и поэтому за поверхностями с закрепилось название «минимальные». В действительности, однако, нужно различать понятия минимальной поверхности и поверхности наименьшей площади, так как условие представляет собой лишь необходимое условие минимальности площади, вытекающее из равенства нулю 1-й вариации площади поверхности среди всех поверхностей с заданной границей. Для проверки достижения в указанном классе хотя бы относительного (локального) минимума приходится исследовать вторую вариацию площади поверхности.

Примечания[править | править код]

  1. Harvey, Reese; Lawson, H. Blaine, Jr. Calibrated geometries. Acta Math. 148 (1982), 47–157.

Ссылки[править | править код]