Мнимая единица

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Мни́мая едини́ца — комплексное число, квадрат которого равен −1 (минус единице). Термин употребляется также в обобщённом смысле в конструкции удвоения по Кэли — Диксону или в рамках алгебры по Клиффорду.

Для комплексных чисел[править | править код]

на комплексной плоскости. Вещественные числа лежат на горизонтальной оси, чисто мнимые — на вертикальной.

В математике, физике мнимая единица обозначается как латинская или . Она позволяет расширить поле вещественных чисел до поля комплексных чисел. Точное определение зависит от способа расширения.

Причиной введения мнимой единицы является то, что не каждое полиномиальное уравнение с вещественными коэффициентами имеет решения в поле вещественных чисел. Так, уравнение не имеет вещественных корней. Однако оказывается, что любое полиномиальное уравнение с комплексными коэффициентами имеет комплексное решение — «Основная теорема алгебры».

Исторически мнимая единица сначала была введена для решения вещественного кубического уравнения: нередко, при наличии трёх вещественных корней, для получения двух из них формула Кардано требовала брать кубический корень в комплексных числах.

Утверждение, что мнимая единица — это «квадратный корень из −1», не совсем точно: ведь «−1» имеет два квадратных корня, один из которых можно обозначить как «i», а другой как «−i». Какой именно корень принять за мнимую единицу — неважно: все равенства сохранят силу при одновременной замене всех «i» на «-i» и «-i» на «i». Однако из-за этой двусмысленности, чтобы избежать ошибочных выкладок, не следует применять обозначение для через радикал (как ).

Определение[править | править код]

Мнимая единица — это число, квадрат которого равен −1. Т.е.   — это одно из решений уравнения

  или  

И тогда его вторым решением уравнения будет , что проверяется подстановкой.

Степени мнимой единицы[править | править код]

Степени повторяются в цикле:

Что может быть записано для любой степени в виде:

где n — любое целое число.

Отсюда: где mod 4 — это остаток от деления на 4.

Из тождества Эйлера следует, что число является вещественным:

.

Точнее, в комплексном анализе возведение в степень: является многозначной функцией, поэтому

, где .

Также верно, что .

Факториал[править | править код]

Факториал мнимой единицы i можно определить как значение гамма-функции от аргумента 1 + i:

Также

[1]

Корни из мнимой единицы[править | править код]

Корни квадратные из мнимой единицы
Корни кубические из мнимой единицы (вершины треугольника)

В поле комплексных чисел корень n-й степени имеет n решений. На комплексной плоскости корни из мнимой единицы находятся в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность с единичным радиусом.

Это следует из формулы Муавра и того, что мнимая единица может быть представлена в тригонометрическом виде:

В частности, и

Также корни из мнимой единицы могут быть представлены в показательном виде:

Иные мнимые единицы[править | править код]

В конструкции Кэли — Диксона (или в алгебрах Клиффорда) «мнимых единиц расширения» может быть несколько, и/или их квадрат может быть = «+1» или даже = «0». Но в этом случае могут возникать делители нуля, имеются и иные свойства, отличные от свойств комплексного «i». Например, в теле кватернионов три антикоммутативных мнимых единицы, а также имеется бесконечно много решений уравнения «».

К вопросу об интерпретации и названии[править | править код]

«Гаусс утверждал также, что если бы величины 1, −1 и √−1 назывались соответственно не положительной, отрицательной и мнимой единицей, а прямой, обратной и побочной, то у людей не создавалось бы впечатления, что с этими числами связана какая-то мрачная тайна. По словам Гаусса, геометрическое представление дает истинную метафизику мнимых чисел в новом свете. Именно Гаусс ввел термин «комплексные числа» (в противоположность «мнимым числам» Декарта) и использовал для обозначения √−1 символ i.
Морис Клайн, «Математика. Утрата определённости». Глава VII. Нелогичное развитие: серьёзные трудности на пороге XIX в.
»

Обозначения[править | править код]

Обычное обозначение , но в электро- и радиотехнике мнимую единицу принято обозначать , чтобы не путать с обозначением мгновенной силы тока: .

В языке программирования Python мнимая единица записывается как 1j.

См.также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. "abs(i!)", WolframAlpha.

Ссылки[править | править код]