Многомерное нормальное распределение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Многоме́рное норма́льное распределе́ние (или многоме́рное га́уссовское распределе́ние) в теории вероятностей — это обобщение одномерного нормального распределения. Случайный вектор, имеющий многомерное нормальное распределение, называется гауссовским вектором[1].

Определения[править | править вики-текст]

Случайный вектор имеет многомерное нормальное распределение, если выполняется одно из следующих эквивалентных условий:

  • Произвольная линейная комбинация компонентов вектора имеет нормальное распределение или является константой.
  • Существуют вектор независимых стандартных нормальных случайных величин , вещественный вектор и матрица размерности , такие что:
.
.

Плотность невырожденного нормального распределения[править | править вики-текст]

  • Если рассматривать только распределения с невырожденной ковариационной матрицей, то эквивалентным будет также следующее определение:
Существует вектор и неотрицательно определённая симметричная матрица размерности , такие что плотность вероятности вектора имеет вид:
,
где определитель матрицы , а — матрица обратная к


  • Вектор является вектором средних значений , а — его ковариационная матрица.
  • В случае , многомерное нормальное распределение сводится к обычному нормальному распределению.
  • Если случайный вектор имеет многомерное нормальное распределение, то пишут .

Двумерное нормальное распределение[править | править вики-текст]

Частным случаем многомерного нормального распределения является двумерное нормальное распределение. В этом случае имеем две случайные величины с математическими ожиданиями , дисперсиями и ковариацией . В этом случае ковариационная матрица имеет размер 2, ее определитель равен

где коэффициент корреляции случайных величин.

Тогда плотность двумерного невырожденного (коэффициент корреляции по модулю не равен единице) нормального распределения можно записать в виде:

.

Свойства многомерного нормального распределения[править | править вики-текст]

  • Если вектор имеет многомерное нормальное распределение, то его компоненты имеют одномерное нормальное распределение. Обратное, вообще говоря, неверно[2].
  • Если случайные величины имеют одномерное нормальное распределение и совместно независимы, то случайный вектор имеет многомерное нормальное распределение. Матрица ковариаций такого вектора диагональна.
  • Если имеет многомерное нормальное распределение, и его компоненты попарно некоррелированы, то они независимы. Однако, если некоторые случайные величины имеют одномерные нормальные распределения и попарно не коррелируют, то отсюда не следует, что они независимы и имеют многомерное нормальное распределение.
Пример. Пусть , а с равными вероятностями. Тогда если , то корреляция и равна нулю. Однако, эти случайные величины зависимы и в силу первого утверждения абзаца не имеют многомерного нормального распредедения.
  • Многомерное нормальное распределение устойчиво относительно линейных преобразований. Если , а  — произвольная матрица размерности , то
Таким преобразованием и сдвигом любое невырожденное нормальное распределение можно привести к вектору независимых стандартных нормальных величин.

Моменты многомерного нормального распределения[править | править вики-текст]

Пусть - центрированные (с нулевым математическим ожиданием) случайные величины имеющие многомерное нормальное распределение, тогда моменты для нечетных равно нулю, а для четных вычисляется по формуле

где суммирование осуществляется по всевозможным разбиениям индексов на пары. Количество множителей в каждом слагаемом равно , количество слагаемых равно

Например, для моментов четвертого порядка в каждом слагаемом по два множителя и общее количество слагаемых будет равно . Соответствующая общая формула для моментов четвертого порядка имеет вид:

В частности если

При

При

Условное распределение[править | править вики-текст]

Пусть случайные векторы и имеют совместное нормальное распределение с математическими ожиданиями , ковариационными матрицами и матрицей ковариаций . Это означает, что объединенный случайный вектор подчиняется многомерному нормальному распределению с вектором математического ожидания и ковариационной матрицей, которую можно представить в виде следующей блочной матрицы

,

где .

Тогда случайный вектор при заданном значении случайного вектора имеет (многомерное) нормальное условное распределение со следующим условным математическим ожиданием и условной ковариационной матрицей

.

Первое равенство определяет функцию линейной регрессии (зависимости условного математического ожидания вектора от заданного значения x случайного вектора ), причем матрица  — матрица коэффициентов регрессии.

Условная ковариационная матрица представляет собой матрицу ковариаций случайных ошибок линейных регрессий компонентов вектора на вектор . В случае если  — обычная случайная величина (однокомпоненнтный вектор), условная ковариационная матрица — это условная дисперсия (по существу дисперсия случайной ошибки регрессии на вектор )

Примечания[править | править вики-текст]

  1. А.Н.Ширяев. Вероятность. Том 1. МЦНМО, 2007.
  2. А.А.Новоселов. Избранное: нормальность совместного распределения. Современные риск-системы (28 марта 2014). Проверено 8 мая 2017.


Bvn-small.png п о р       Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | Биномиальное | Геометрическое | Гипергеометрическое | Логарифмическое | Отрицательное биномиальное | Пуассона | Дискретное равномерное Мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма- | Гиперэкспоненциальное | Гомпертца | Колмогорова | Коши | Лапласа | Логнормальное | Нормальное (Гаусса) | Логистическое | Накагами | Парето | Пирсона | Полукруговое | Непрерывное равномерное | Райса | Рэлея | Стьюдента | Трейси — Видома | Фишера | Хи-квадрат | Экспоненциальное | Variance-gamma Многомерное нормальное | Копула