Многочлены Гегенбауэра
Формула
C
n
(
α
)
(
z
)
=
∑
k
=
0
⌊
n
/
2
⌋
(
−
1
)
k
(
α
)
n
−
k
k
!
(
n
−
2
k
)
!
(
2
z
)
n
−
2
k
{\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\frac {(-1)^{k}(\alpha )_{n-k}}{k!(n-2k)!}}(2z)^{n-2k}}
Скалярное произведение
(
f
,
g
)
=
∫
−
1
1
(
1
−
z
2
)
α
−
1
/
2
f
(
z
)
g
(
z
)
d
z
{\displaystyle (f,g)=\int _{-1}^{1}{(1-z^{2})^{\alpha -1/2}f(z)g(z){\rm {d}}z}}
Область определения
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle [-1,1]}
Дифференциальное уравнение
(
1
−
z
2
)
f
″
−
(
2
α
+
1
)
z
f
′
+
n
(
n
+
2
α
)
f
=
0
{\displaystyle (1\!-\!z^{2})f''\!\!-\!(2\alpha \!+\!1)zf'\!\!+\!n(n\!+\!2\alpha )f=0}
Норма
‖
C
n
(
α
)
(
z
)
‖
2
=
2
1
−
2
α
π
Γ
(
n
+
2
α
)
n
!
(
n
+
α
)
[
Γ
(
α
)
]
2
{\displaystyle \|C_{n}^{(\alpha )}(z)\|^{2}={\frac {2^{1-2\alpha }\pi \Gamma (n+2\alpha )}{n!(n+\alpha )[\Gamma (\alpha )]^{2}}}}
Названы в честь
Леопольда Гегенбауэра
Многочле́ны Гегенба́уэра или ультрасфери́ческие многочле́ны в математике — многочлены , ортогональные на отрезке [−1,1] с весовой функцией
(
1
−
z
2
)
α
−
1
/
2
{\displaystyle (1-z^{2})^{\alpha -1/2}}
C
n
(
α
)
(
z
)
=
∑
k
=
0
⌊
n
/
2
⌋
(
−
1
)
k
Γ
(
n
−
k
+
α
)
Γ
(
α
)
k
!
(
n
−
2
k
)
!
(
2
z
)
n
−
2
k
,
{\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}{\frac {\Gamma (n-k+\alpha )}{\Gamma (\alpha )k!(n-2k)!}}(2z)^{n-2k},}
где
Γ
(
s
)
{\displaystyle \Gamma (s)}
гамма-функция , а
⌊
n
/
2
⌋
{\displaystyle \lfloor n/2\rfloor }
целую часть числа n/2 .
Многочлены Гегенбауэра являются обобщением многочленов Лежандра и Чебышёва и являются частным случаем многочленов Якоби . Также многочлены Гегенбауэра связаны с представлением специальной ортогональной группы
S
O
(
n
)
{\displaystyle SO(n)}
[1] Леопольда Гегенбауэра (1849—1903).
Производящая функция и частные значения аргумента [ править | править код ] Многочлены Гегенбауэра могут быть определены через производящую функцию [2]
1
(
1
−
2
z
t
+
t
2
)
α
=
∑
n
=
0
∞
C
n
(
α
)
(
z
)
t
n
.
{\displaystyle {\frac {1}{(1-2zt+t^{2})^{\alpha }}}=\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}^{(\alpha )}(z)t^{n}.}
Поскольку производящая функция не меняется при одновременной замене
z
→
−
z
{\displaystyle z\to -z}
t
→
−
t
{\displaystyle t\to -t}
C
n
(
α
)
(
−
z
)
=
(
−
1
)
n
C
n
(
α
)
(
z
)
,
{\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(-z)=(-1)^{n}C_{n}^{(\alpha )}(z),}
из чего следует, что при чётном n многочлены Гегенбауэра содержат только чётные степени z , а при нечётном n — только нечётные степени z .
Через производящую функцию можно получить значения многочленов Гегенбауэра при z=1 и z=0 как коэффициенты разложений
(
1
−
t
)
−
2
α
{\displaystyle (1-t)^{-2\alpha }}
(
1
+
t
2
)
−
α
{\displaystyle (1+t^{2})^{-\alpha }}
C
n
(
α
)
(
1
)
=
(
2
α
)
n
n
!
,
{\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(1)={\frac {(2\alpha )_{n}}{n!}},}
C
n
(
α
)
(
0
)
=
(
−
1
)
n
/
2
(
α
)
n
/
2
(
n
/
2
)
!
{\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(0)={\frac {(-1)^{n/2}(\alpha )_{n/2}}{(n/2)!}}}
n ),
C
n
(
α
)
(
0
)
=
0
{\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(0)=0}
n ),где используется стандартное обозначение для символа Похгаммера ,
(
α
)
n
=
Γ
(
α
+
n
)
Γ
(
α
)
{\displaystyle (\alpha )_{n}={\frac {\Gamma (\alpha +n)}{\Gamma (\alpha )}}}
Рекуррентное соотношение и частные случаи [ править | править код ] Многочлены Гегенбауэра удовлетворяют следующему рекуррентному соотношению , которое можно использовать для построения полиномов с
n
≥
2
{\displaystyle n\geq 2}
C
n
(
α
)
(
z
)
=
1
n
[
2
z
(
n
+
α
−
1
)
C
n
−
1
(
α
)
(
z
)
−
(
n
+
2
α
−
2
)
C
n
−
2
(
α
)
(
z
)
]
.
{\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {1}{n}}[2z(n+\alpha -1)C_{n-1}^{(\alpha )}(z)-(n+2\alpha -2)C_{n-2}^{(\alpha )}(z)].}
В частности[3]
C
0
(
α
)
(
z
)
=
1
C
1
(
α
)
(
z
)
=
2
α
z
C
2
(
α
)
(
z
)
=
−
α
+
2
α
(
1
+
α
)
z
2
C
3
(
α
)
(
z
)
=
−
2
α
(
1
+
α
)
z
+
4
3
α
(
1
+
α
)
(
2
+
α
)
z
3
{\displaystyle {\begin{aligned}C_{0}^{(\alpha )}(z)&=1\\C_{1}^{(\alpha )}(z)&=2\alpha z\\C_{2}^{(\alpha )}(z)&=-\alpha +2\alpha (1+\alpha )z^{2}\\C_{3}^{(\alpha )}(z)&=-2\alpha (1+\alpha )z+{\tfrac {4}{3}}\alpha (1+\alpha )(2+\alpha )z^{3}\end{aligned}}}
и так далее.
Дифференциальное уравнение и связь с другими функциями [ править | править код ] Многочлены Гегенбауэра удовлетворяют дифференциальному уравнению Гегенбауэра[4]
(
1
−
z
2
)
d
2
f
d
z
2
−
(
2
α
+
1
)
z
d
f
d
z
+
n
(
n
+
2
α
)
f
=
0.
{\displaystyle (1-z^{2}){\frac {{\rm {d}}^{2}f}{{\rm {d}}z^{2}}}-(2\alpha +1)z{\frac {{\rm {d}}f}{{\rm {d}}z}}+n(n+2\alpha )f=0.}
При
α
=
1
2
{\displaystyle \alpha ={\tfrac {1}{2}}}
многочленам Лежандра .
Многочлены Гегенбауэра можно выразить через конечный гипергеометрический ряд
C
n
(
α
)
(
z
)
=
(
2
α
)
n
n
!
2
F
1
(
−
n
,
2
α
+
n
;
α
+
1
2
;
1
2
(
1
−
z
)
)
.
{\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {(2\alpha )_{n}}{n!}}\,_{2}F_{1}\left(-n,2\alpha +n;\alpha +{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {1}{2}}(1-z)\right).}
Многочлены Гегенбауэра являются частным случаем многочленов Якоби
P
n
(
μ
,
ν
)
(
z
)
{\displaystyle P_{n}^{(\mu ,\nu )}(z)}
μ
=
ν
=
α
−
1
2
{\displaystyle \mu =\nu =\alpha -{\tfrac {1}{2}}}
C
n
(
α
)
(
z
)
=
(
2
α
)
n
(
α
+
1
2
)
n
P
n
(
α
−
1
/
2
,
α
−
1
/
2
)
(
z
)
.
{\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {(2\alpha )_{n}}{(\alpha +{\frac {1}{2}})_{n}}}P_{n}^{(\alpha -1/2,\;\alpha -1/2)}(z).}
Производная многочлена Гегенбауэра выражается через многочлен со сдвинутыми индексами
d
d
z
C
n
(
α
)
(
z
)
=
2
α
C
n
−
1
(
α
+
1
)
(
z
)
.
{\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}C_{n}^{(\alpha )}(z)=2\alpha C_{n-1}^{(\alpha +1)}(z).}
Они могут быть выражены через формулу Родрига
C
n
(
α
)
(
z
)
=
(
−
2
)
n
n
!
Γ
(
n
+
α
)
Γ
(
n
+
2
α
)
Γ
(
α
)
Γ
(
2
n
+
2
α
)
(
1
−
z
2
)
−
α
+
1
/
2
d
n
d
z
n
[
(
1
−
z
2
)
n
+
α
−
1
/
2
]
.
{\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {(-2)^{n}}{n!}}{\frac {\Gamma (n+\alpha )\Gamma (n+2\alpha )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (2n+2\alpha )}}(1-z^{2})^{-\alpha +1/2}{\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}z^{n}}}\left[(1-z^{2})^{n+\alpha -1/2}\right].}
Для данного
α
{\displaystyle \alpha }
ортогональны на отрезке [−1,1] с весовой функцией
(
1
−
z
2
)
α
−
1
/
2
{\displaystyle (1-z^{2})^{\alpha -1/2}}
n ≠ m )[5]
∫
−
1
1
C
n
(
α
)
(
z
)
C
m
(
α
)
(
z
)
(
1
−
z
2
)
α
−
1
/
2
d
z
=
0.
{\displaystyle \int _{-1}^{1}C_{n}^{(\alpha )}(z)C_{m}^{(\alpha )}(z)(1-z^{2})^{\alpha -1/2}\,{\rm {d}}z=0.}
Они нормализованы как[5]
∫
−
1
1
[
C
n
(
α
)
(
z
)
]
2
(
1
−
z
2
)
α
−
1
/
2
d
z
=
2
1
−
2
α
π
Γ
(
n
+
2
α
)
n
!
(
n
+
α
)
[
Γ
(
α
)
]
2
.
{\displaystyle \int _{-1}^{1}\left[C_{n}^{(\alpha )}(z)\right]^{2}(1-z^{2})^{\alpha -1/2}\,{\rm {d}}z={\frac {2^{1-2\alpha }\pi \Gamma (n+2\alpha )}{n!(n+\alpha )[\Gamma (\alpha )]^{2}}}.}
Если
z
=
x
+
i
y
{\displaystyle z=x+{\rm {i}}y}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
α
{\displaystyle \alpha }
R
e
[
C
n
(
α
)
(
x
+
i
y
)
]
=
∑
k
=
0
⌊
n
/
2
⌋
(
−
1
)
k
2
2
k
(
α
)
2
k
(
2
k
)
!
C
n
−
2
k
(
2
k
+
α
)
(
x
)
y
2
k
,
{\displaystyle {\rm {Re}}\left[C_{n}^{(\alpha )}(x+{\rm {i}}y)\right]=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\frac {(-1)^{k}2^{2k}(\alpha )_{2k}}{(2k)!}}\;C_{n-2k}^{(2k+\alpha )}(x)\;y^{2k},}
I
m
[
C
n
(
α
)
(
x
+
i
y
)
]
=
∑
k
=
0
⌊
(
n
−
1
)
/
2
⌋
(
−
1
)
k
2
2
k
+
1
(
α
)
2
k
+
1
(
2
k
+
1
)
!
C
n
−
2
k
−
1
(
2
k
+
α
+
1
)
(
x
)
y
2
k
+
1
.
{\displaystyle {\rm {Im}}\left[C_{n}^{(\alpha )}(x+{\rm {i}}y)\right]=\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {(-1)^{k}2^{2k+1}(\alpha )_{2k+1}}{(2k+1)!}}\;C_{n-2k-1}^{(2k+\alpha +1)}(x)\;y^{2k+1}.}
↑ Виленкин, 1991 , с. 415.↑ Виленкин, 1991 , с. 468.↑ Виленкин, 1991 , с. 439.↑ Виленкин, 1991 , с. 438.↑ 1 2 Виленкин, 1991 , с. 441.
![[-1,1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e3b7f14a6f70e614728c583409a0b9a8b9de01)
![{\displaystyle \|C_{n}^{(\alpha )}(z)\|^{2}={\frac {2^{1-2\alpha }\pi \Gamma (n+2\alpha )}{n!(n+\alpha )[\Gamma (\alpha )]^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e23d8d92fa7d947e3b8ba165829e31d1e617b247)
![{\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {1}{n}}[2z(n+\alpha -1)C_{n-1}^{(\alpha )}(z)-(n+2\alpha -2)C_{n-2}^{(\alpha )}(z)].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/841d1c8bfe0bec94c1321f5b637b48374d0a086b)
![{\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {(-2)^{n}}{n!}}{\frac {\Gamma (n+\alpha )\Gamma (n+2\alpha )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (2n+2\alpha )}}(1-z^{2})^{-\alpha +1/2}{\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}z^{n}}}\left[(1-z^{2})^{n+\alpha -1/2}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b93171c899e4b1b8bcfd109e83dcffefe565ef48)
![{\displaystyle \int _{-1}^{1}\left[C_{n}^{(\alpha )}(z)\right]^{2}(1-z^{2})^{\alpha -1/2}\,{\rm {d}}z={\frac {2^{1-2\alpha }\pi \Gamma (n+2\alpha )}{n!(n+\alpha )[\Gamma (\alpha )]^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c977fddb9c67cf4b354ac2c6be13f4a859eaa9ee)
![{\displaystyle {\rm {Re}}\left[C_{n}^{(\alpha )}(x+{\rm {i}}y)\right]=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\frac {(-1)^{k}2^{2k}(\alpha )_{2k}}{(2k)!}}\;C_{n-2k}^{(2k+\alpha )}(x)\;y^{2k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/901c534ac4529d499c7c795aad6a4edc6fdfbfab)
![{\displaystyle {\rm {Im}}\left[C_{n}^{(\alpha )}(x+{\rm {i}}y)\right]=\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {(-1)^{k}2^{2k+1}(\alpha )_{2k+1}}{(2k+1)!}}\;C_{n-2k-1}^{(2k+\alpha +1)}(x)\;y^{2k+1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/267631aba1a0bd0fcb874e6ca02fc84e4152cd7e)
