Многочлены Гегенбауэра

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Многочлены Гегенбауэра
Общая информация
Формула


C_n^{(\alpha)}(z)=\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \frac{(-1)^k (\alpha)_{n-k}}{k!(n-2k)!}(2z)^{n-2k}

Скалярное произведение

(f, g) = \int_{-1}^1 {(1-z^2)^{\alpha-1/2} f(z) g(z)dz}

Область определения

[-1, 1]

Дополнительные характеристики
Дифференциальное уравнение

(1\!-\!z^2)f''-(2\alpha\!+\!1)z f' +n(n\!+\!2\alpha)f=0

Норма

||C_n^{(\alpha)}(z)||^2 = \frac{2^{1-2\alpha} \pi \Gamma(n+2\alpha)}{n!(n+\alpha)[\Gamma(\alpha)]^2}

Названы в честь

Гегенбауэр, Леопольд

Многочле́ны Гегенба́уэра или ультрасфери́ческие многочле́ны в математике — многочлены, ортогональные на отрезке [−1,1] с весовой функцией (1-z^2)^{\alpha-1/2}. Они могут быть явным образом представлены как


C_n^{(\alpha)}(z)=\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} (-1)^k\frac{\Gamma(n-k+\alpha)}{\Gamma(\alpha)k!(n-2k)!}(2z)^{n-2k},

где \Gamma(s)гамма-функция, а \lfloor n/2\rfloor обозначает целую часть числа n/2.

Многочлены Гегенбауэра являются обобщением многочленов Лежандра и Чебышёва, и являются частным случаем многочленов Якоби. Также многочлены Гегенбауэра связаны с представлением специальной ортогональной группы SO(n)[1]. Они названы в честь австрийского математика Леопольда Гегенбауэра (1849—1903).

Производящая функция и частные значения аргумента[править | править исходный текст]

Многочлены Гегенбауэра могут быть определены через производящую функцию[2]:


\frac{1}{(1-2zt+t^2)^\alpha}=\sum_{n=0}^\infty C_n^{(\alpha)}(z) t^n .

Поскольку производящая функция не меняется при одновременной замене z\to -z, t\to -t, то


C_n^{(\alpha)}(-z)=(-1)^n C_n^{(\alpha)}(z),

из чего следует, что при чётном n многочлены Гегенбауэра содержат только чётные степени z, а при нечётном n — только нечётные степени z.

Через производящую функцию можно получить значения многочленов Гегенбауэра при z=1 и z=0 как коэффициенты разложений (1-t)^{-2\alpha} и (1+t^2)^{-\alpha}, соответственно:


C_n^{(\alpha)}(1) = \frac{(2\alpha)_n}{n!},

C_n^{(\alpha)}(0) = \frac{(-1)^{n/2} (\alpha)_{n/2}}{(n/2)!}
  (для чётных n),       
C_n^{(\alpha)}(0) = 0 
  (для нечётных n),

где используется стандартное обозначение для символа Похгаммера,

(\alpha)_n = \frac{\Gamma(\alpha+n)}{\Gamma(\alpha)}.

Рекуррентное соотношение и частные случаи[править | править исходный текст]

Многочлены Гегенбауэра удовлетворяют следующему рекуррентному соотношению, которое можно использовать для построения полиномов с n\geq 2:


C_n^{(\alpha)}(z) = \frac{1}{n}[2z(n+\alpha-1)C_{n-1}^{(\alpha)}(z) - (n+2\alpha-2)C_{n-2}^{(\alpha)}(z)].

В частности[3],


\begin{align}
C_0^{(\alpha)}(z) &= 1 \\
C_1^{(\alpha)}(z) &= 2 \alpha z \\
C_2^{(\alpha)}(z) &= -\alpha + 2\alpha (1+\alpha) z^2 \\
C_3^{(\alpha)}(z) &= - 2\alpha (1+\alpha) z + \tfrac43 \alpha (1+\alpha) (2+\alpha) z^3
\end{align}

и так далее.

Дифференциальное уравнение и связь с другими функциями[править | править исходный текст]

Многочлены Гегенбауэра удовлетворяют дифференциальному уравнению Гегенбауэра[4]

(1-z^2)\frac{{\rm d}^2 f}{{\rm d}z^2}-(2\alpha+1)z\frac{{\rm d} f}{{\rm d}z}+n(n+2\alpha)f=0.\,

При \alpha=\tfrac12 это уравнение сводится к дифференциальному уравнению Лежандра и, соответственно, многочлены Гегенбауэра сводятся к многочленам Лежандра.

Многочлены Гегенбауэра можно выразить через конечный гипергеометрический ряд

C_n^{(\alpha)}(z)=\frac{(2\alpha)_n}{n!}
\,_2F_1\left(-n,2\alpha+n;\alpha+\tfrac12; \tfrac12 (1-z)\right).

Многочлены Гегенбауэра являются частным случаем многочленов Якоби P_n^{(\mu,\nu)}(z) c \mu=\nu=\alpha-\tfrac12:

C_n^{(\alpha)}(z) = \frac{(2\alpha)_n}{(\alpha+\frac{1}{2})_{n}}P_n^{(\alpha-1/2,\;\alpha-1/2)}(z).

Производная многочлена Гегенбауэра выражается через многочлен со сдвинутыми индексами


\frac{{\rm d}}{{\rm d}z} C_n^{(\alpha)}(z) = 2\alpha C_{n-1}^{(\alpha+1)}(z).

Они могут быть выражены через формулу Родрига


C_n^{(\alpha)}(z) = \frac{(-2)^n}{n!}\frac{\Gamma(n+\alpha)\Gamma(n+2\alpha)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(2n+2\alpha)}(1-z^2)^{-\alpha+1/2}\frac{{\rm d}^n}{{\rm d}z^n}\left[(1-z^2)^{n+\alpha-1/2}\right].

Ортогональность и нормировка[править | править исходный текст]

Для данного \alpha многочлены Гегенбауэра ортогональны на отрезке [−1,1] с весовой функцией (1-z^2)^{\alpha-1/2}, то есть (для n ≠ m)[5],


\int_{-1}^1 C_n^{(\alpha)}(z)C_m^{(\alpha)}(z)(1-z^2)^{\alpha-1/2}\,{\rm d}z = 0.

Они нормализованы как[5]


\int_{-1}^1 \left[C_n^{(\alpha)}(z)\right]^2(1-z^2)^{\alpha-1/2}\,{\rm d}z 
= \frac{2^{1-2\alpha} \pi \Gamma(n+2\alpha)}{n!(n+\alpha)[\Gamma(\alpha)]^2}.

Случай комплексного аргумента[править | править исходный текст]

Если z=x+{\rm i}y, где x и y — действительные переменные (и \alpha тоже действительна), то действительную и мнимую части полиномов Гегенбауэра можно выразить в следующем виде:


{\rm Re}\left[ C_n^{(\alpha)}(x+{\rm i}y) \right] = \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}
\frac{(-1)^k 2^{2k} (\alpha)_{2k}}{(2k)!}\; C_{n-2k}^{(2k+\alpha)}(x)\; y^{2k} ,

{\rm Im}\left[ C_n^{(\alpha)}(x+{\rm i}y) \right] = \sum_{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor}
\frac{(-1)^k 2^{2k+1} (\alpha)_{2k+1}}{(2k+1)!}\; C_{n-2k-1}^{(2k+\alpha+1)}(x)\; y^{2k+1}.


См. также[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

Источники[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

Книги[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]