Многочлены Гегенбауэра

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Многочлены Гегенбауэра
Общая информация
Формула

Скалярное произведение

Область определения

Дополнительные характеристики
Дифференциальное уравнение

Норма

Названы в честь

Леопольда Гегенбауэра

Многочле́ны Гегенба́уэра или ультрасфери́ческие многочле́ны в математике — многочлены, ортогональные на отрезке [−1,1] с весовой функцией . Они могут быть явным образом представлены как

где гамма-функция, а обозначает целую часть числа n/2.

Многочлены Гегенбауэра являются обобщением многочленов Лежандра и Чебышёва, и являются частным случаем многочленов Якоби. Также многочлены Гегенбауэра связаны с представлением специальной ортогональной группы [1]. Они названы в честь австрийского математика Леопольда Гегенбауэра (1849—1903).

Производящая функция и частные значения аргумента[править | править вики-текст]

Многочлены Гегенбауэра могут быть определены через производящую функцию[2]:

Поскольку производящая функция не меняется при одновременной замене , , то

из чего следует, что при чётном n многочлены Гегенбауэра содержат только чётные степени z, а при нечётном n — только нечётные степени z.

Через производящую функцию можно получить значения многочленов Гегенбауэра при z=1 и z=0 как коэффициенты разложений и соответственно:

  (для чётных n),         (для нечётных n),

где используется стандартное обозначение для символа Похгаммера,

.

Рекуррентное соотношение и частные случаи[править | править вики-текст]

Многочлены Гегенбауэра удовлетворяют следующему рекуррентному соотношению, которое можно использовать для построения полиномов с :

В частности[3],

и так далее.

Дифференциальное уравнение и связь с другими функциями[править | править вики-текст]

Многочлены Гегенбауэра удовлетворяют дифференциальному уравнению Гегенбауэра[4]

При это уравнение сводится к дифференциальному уравнению Лежандра и, соответственно, многочлены Гегенбауэра сводятся к многочленам Лежандра.

Многочлены Гегенбауэра можно выразить через конечный гипергеометрический ряд

Многочлены Гегенбауэра являются частным случаем многочленов Якоби c :

Производная многочлена Гегенбауэра выражается через многочлен со сдвинутыми индексами

Они могут быть выражены через формулу Родрига

Ортогональность и нормировка[править | править вики-текст]

Для данного многочлены Гегенбауэра ортогональны на отрезке [−1,1] с весовой функцией , то есть (для n ≠ m)[5],

Они нормализованы как[5]

Случай комплексного аргумента[править | править вики-текст]

Если , где и — действительные переменные (и тоже действительна), то действительную и мнимую части полиномов Гегенбауэра можно выразить в следующем виде:


См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]