Многочлены Лежандра

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Многочлены Лежандра
Общая информация
Формула

Скалярное произведение

Область определения

Дополнительные характеристики
Дифференциальное уравнение

Норма

Названы в честь

Лежандр, Адриен Мари

Многочлен Лежа́ндра — многочлен, который в наименьшей степени отклоняется от нуля в смысле среднего квадратического. Образует ортогональную систему многочленов на отрезке в пространстве . Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов ортогонализацией Грама ― Шмидта.

Названы по имени французского математика Адриен Мари Лежандра.

Определение[править | править вики-текст]

Полиномы Лежандра и присоединённые функции Лежандра первого и второго рода[править | править вики-текст]

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида

(УравнПолЛеж)

где  — комплексная переменная. Решения этого уравнения при целых имеют вид многочленов, называемых многочленами Лежандра. Полином Лежандра степени можно представить через формулу Родрига в виде[1]

Часто вместо записывают косинус полярного угла:

Уравнение (УравнПолЛеж) можно получить из частного случая гипергеометрического уравнения, называемого уравнением Лежандра

(УравнЛеж)

где ,  — произвольные комплексные постоянные. Интерес представляют его решения, являющиеся однозначными и регулярными при (в частности, при действительных ) или когда действительная часть числа больше единицы. Его решения называют присоединёнными функциями Лежандра или шаровыми функциями. Подстановка вида в (УравнЛеж) даёт уравнение Гаусса, решение которого в области принимает вид

где F — гипергеометрическая функция. Подстановка в (УравнЛеж) приводит к решению вида

определённым на . Функции и называют функциями Лежандра первого и второго рода.[2]

Справедливы соотношения[3]

и

Выражение через суммы[править | править вики-текст]

  • Многочлены Лежандра также определяются по следующим формулам:
, если ;
, если .

Рекуррентная формула[править | править вики-текст]

  • Они также могут быть вычислены по рекуррентной формуле (при n 1)[4]:

(РекуррЛеж)
причем первые две функции имеют вид

Производная полинома Лежандра[править | править вики-текст]

  • Вычисляется по формуле[5]:

(ПроизвЛеж)

Корни полинома Лежандра[править | править вики-текст]

  • Вычисляются итеративно по методу Ньютона[5]:
,
причем, начальное приближение для i-го корня (i = 1, 2, …, n) берется по формуле[5]

Значение полинома можно вычислять используя рекуррентную формулу для конкретного значения x. Производную также можно вычислять для конкретного значения x, используя формулу для производной.

Формулы с разложениями[править | править вики-текст]

  • Многочлены Лежандра также определяются следующими разложениями:


для ± :


и для ± :

Следовательно,

Присоединённые многочлены Лежандра[править | править вики-текст]

Присоединённые многочлены Лежандра определяются по формуле:

которую также можно представить в виде:

При функция совпадает с .

Нормировка по правилу Шмидта[править | править вики-текст]

Нормированные по правилу Шмидта полиномы Лежандра выглядят следующим образом[6]:

Сдвинутые многочлены Лежандра[править | править вики-текст]

Сдвинутые многочлены Лежандра определяются как , где сдвигающая функция (это аффинное преобразование) - выбрана так чтобы однозначно отображать интервал ортогональности многочленов на интервал в котором уже ортогональны сдвинутые многочлены :

Явное выражение для смещённых многочленов Лежандра задаётся как:

Аналогом формулы Родрига для смещенных многочленов Лежандра является:

Выражения для некоторых первых сдвинутых многочленов Лежандра:

n
0
1
2
3
4

Матрица функции многочлена Лежандра[править | править вики-текст]

Эта матрица является верхнетреугольной. Её определитель равен нулю, а собственные значения равны , где .

Примеры[править | править вики-текст]

Первые 6 многочленов Лежандра.

Первые многочлены Лежандра равны:

Поскольку , то

Свойства[править | править вики-текст]

  • Если , то
  • Для степень равна n.
  • Сумма коэффициентов многочлена Лежандра равна 1.
  • Уравнение имеет ровно различных корней на отрезке
  • Пусть . Тогда:
При уравнение принимает вид

где  — символ Кронекера.

  • Для , норма равна:
  • Нормированная функция многочленов Лежандра связана с нормой следующим соотношением:
  • При каждом система присоединённых функций Лежандра полна в .
  • В зависимости от и присоединённые многочлены Лежандра могут быть как чётными, так и нечётными функциями:
  •  — четная функция;
  •  — нечетная функция.
  • , поскольку , а .
  • Для , .

Ряды многочленов Лежандра[править | править вики-текст]

Разложение липшицевой функции в ряд многочленов Лежандра[править | править вики-текст]

Липшицевая функция является функцией со свойством:

, где .

Эта функция разлагается в ряд многочленов Лежандра.

Пусть  — пространство непрерывных отображений на отрезке , и .

Пусть

тогда удовлетворяет следующему условию:

Пусть и удовлетворяет следующим условиям:

  1. , где

Липшецевую функцию можно записать следующим образом:

Разложение голоморфной функции[править | править вики-текст]

Всякая функция f, голоморфная внутри эллипса с фокусами −1 и +1, может быть представлена в виде ряда:

Теорема сложения[править | править вики-текст]

Для величин, удовлетворяющих условиям , , ,  — действительное число, можно записать теорему сложения для полиномов Лежандра первого рода:[7]

или, в альтернативной форме через гамма-функцию:

Для полиномов Лежандра второго рода теорема сложения выглядит как[8]

при условиях , , ,

Функции Лежандра[править | править вики-текст]

Многочлены Лежандра (вместе с присоединёнными функциями Лежандра ) естественно возникают в теории потенциала.

Шаровые функции — это функции (в сферических координатах ) вида (с точностью до константы)

и

где  — присоединённые многочлены Лежандра;

а точнее вида , где  — сферические функции.

Шаровые функции удовлетворяют уравнению Лапласа всюду в .

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Градштейн, Рыжик, 1963, с. 1039.
  2. Бейтмен, Эрдейи, Т. 1, 1973, с. 126—127.
  3. Бейтмен, Эрдейи, Т. 1, 1973, с. 140.
  4. Цимринг, 1988, с. 196.
  5. 1 2 3 Цимринг, 1988, с. 197.
  6. John W. Eaton, David Bateman, Søren Hauberg, Rik Wehbring. GNU Octave. — 2011. — С. 455-456.
  7. Градштейн, Рыжик, 1963, с. 1027.
  8. Градштейн, Рыжик, 1963, с. 1028.

Литература[править | править вики-текст]

  • Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции = Higher Transcendental Functions / Пер. Н. Я. Виленкина. — Изд. 2-е,. — М.: Наука, 1973. — Т. 1. — 296 с. — 14 000 экз.
  • Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5.
  • Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — Изд. 4-е, перераб. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. — 19 000 экз.
  • Кампе де Ферье Ж., Кемпбелл Р., Петьо Г., Фогель Т. Функции математической физики. — М.: Физматлит, 1963.
  • Никольский С. М. Квадратурные формулы. — М.: Наука, 1988.
  • Цимринг Ш.Е. Специальные функции и определенные интегралы. Алгоритмы. Программы для микрокалькуляторов: Справочник. — М.: Радио и связь, 1988.

Ссылки[править | править вики-текст]