Многочлены Шапиро

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Многочлены Шапиро — последовательность многочленов, впервые изученная Гарольдом Шапиро в 1951 году при рассмотрении величин некоторых специальных тригонометрических сумм.[1] С точки зрения обработке сигналов, полиномы Шапиро обладают хорошими автокорреляционными свойствами[2], и их значения в единичном круге малы. Первые члены последовательности:

,

где вторая последовательность, Q, называется дополнительной к первой последовательности, P.

Построение[править | править вики-текст]

Полиномы Шапиро могут быть получены из последовательности Рудина-Шапиро (, если число подстрок 11 в двоичной записи числа n четно, и иначе (OEIS A020985)). Так, и т. д.

есть частичная сумма порядка степенного ряда

Последовательность Рудина-Шапиро имеет структуру, схожую с фрактальной — например, , то есть подпоследовательность совпадает с исходной . Это свойство приводит к примечательным функциональным уравнениям, которым удовлетворяет .

Дополнительные полиномы Шапиро, , могут быть определены через эту же последовательность, через отношение , или же через рекуррентные формулы

Свойства[править | править вики-текст]

Дополнительная последовательность, , соответствующая , однозначно определяется следующими свойствами:

  1. Степень равна .
  2. Коэффициенты равны , коэффициент при нулевой степени равен 1.
  3. Равенство выполнено на всей единичной окружности .

Наиболее интересным свойством последовательности является то, что модуль значения на единичной окружности ограничен , что по порядку равно норме . Многочлены с коэффициентами , чей максимум модуля на единичной окружности близок к среднему значению модуля, полезны в различных приложениях теории коммуникаций (например, форма антенны и сжатие данных). Свойство (3) показывает, что (P, Q) образуют пару Голея.

Другие свойства этих многочленов[3]:

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. John Brillhart and L. Carlitz (May, 1970). «Note on the Shapiro polynomials». Proceedings of the American Mathematical Society (Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 25, No. 1) 25 (1): 114–118. DOI:10.2307/2036537.
  2. Somaini, U. (June 26 1975). «Binary sequences with good correlation properties». Electronics Letters 11 (13): 278–279. DOI:10.1049/el:19750211.
  3. J. Brillhart; J.S. Lomont, P. Morton (1976). «Cyclotomic properties of the Rudin–Shapiro polynomials». J. Reine Angew. Math. 288: 37–65.

Список литературы[править | править вики-текст]