Многочлен Бернштейна

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В вычислительной математике многочлены Бернштейна — это алгебраические многочлены, представляющие собой линейную комбинацию базисных многочленов Бернштейна.[1][2]

Устойчивым алгоритмом вычисления многочленов в форме Бернштейна является алгоритм де Кастельжо.

Многочлены в форме Бернштейна были описаны Сергеем Натановичем Бернштейном в 1912 году и использованы им в конструктивном доказательстве аппроксимационной теоремы Вейерштрасса. С развитием компьютерной графики, полиномы Бернштейна на промежутке x ∈ [0, 1] стали играть важную роль при построении кривых Безье.

Определение[править | править вики-текст]

(n + 1) базисных многочленов Бернштейна степени n находятся по формуле

где биномиальный коэффициент.

Базисные многочлены Бернштейна степени n образуют базис для линейного пространства многочленов степени n.

Линейная комбинация базисных полиномов Бернштейна

называется многочленом Бернштейна или точнее многочленом в форме Бернштейна степени n. Коэффициенты называются коэффициентами Бернштейна или коэффициентами Безье.

Примеры[править | править вики-текст]

Вот некоторые базисные полиномы Бернштейна:

Свойства[править | править вики-текст]

Дифференцирование

Леммы о моментах

для любых n и x, так как

для любых n и x

для любых n и x

Аппроксимация непрерывных функций[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Бернштейн С. Н. Собрание сочинений. — М., 1952. — Т. 1. — С. 105-106.
  2. Бернштейн С. Н. Собрание сочинений. — М., 1954. — Т. 3. — С. 310-348.