Эта статья входит в число добротных статей

Многочлен над конечным полем

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Многочленом над конечным полем называется формальная сумма вида

Здесь  — целое неотрицательное число, называемое степенью многочлена , а  — элементы алгебры над умножение которых задаётся правилами:

Такое определение позволяет умножать многочлены формально, не заботясь о том, что разные степени одного и того же элемента конечного поля могут совпадать[1][2].

Любую функцию над конечным полем можно задать с помощью некоторого многочлена (например, интерполяционного многочлена Лагранжа).

Связанные определения[править | править код]

  • Число называется степенью полинома и обозначается как [2].
  • Если , то полином называется нормированным (приведённым)[2]. Полином всегда можно нормировать делением его на коэффициент при старшей степени.
  • Сумма и произведение полиномов определены обычным образом, а операции с коэффициентами осуществляются в поле .
  • Для двух полиномов и всегда найдутся полиномы и над полем , что будет выполняться соотношение
    • Если степень строго меньше степени , то такое соотношение называется представлением полинома в виде частного и остатка от деления на , причем такое представление единственно[3]. Ясно, что делится без остатка на , что записывается как [4].
    • Если , то полином называется делителем полинома [5].
  • Полином является неприводимым над полем , если он не имеет нетривиальных делителей (степени большей 0 и меньшей )[5][6].
  • Расширением поля называется множество классов вычетов по модулю неприводимого многочлена над полем [6].
  • Минимальным многочленом (минимальной функцией) для элемента из расширенного поля называется такой нормированный многочлен над минимальной степени, что [7][8].
  • Корнем многочлена называется всякий элемент поля, значение этого многочлена на котором равно нулю.
  • Сопряженными называются элементы поля, являющиеся корнями одного и того же неприводимого многочлена[9].

Корни многочлена[править | править код]

Полином степени m имеет ровно m корней (с учётом кратности), принадлежащих некоторому расширенному полю . Если , где  — простое, то . Исходя из свойств конечных полей, любой элемент поля является корнем двучлена :

Таким образом, корни многочлена также являются корнями двучлена [10].

Справедливы теорема Безу и следствия из неё:

Остаток от деления на равен .

Если  — корень , то делит .

Если суть корни , то

Также справедливы следующие теоремы:

Теорема 1. Если  — корень , то  — тоже корень [11].

Теорема 2. Сопряженные элементы поля Галуа имеют один и тот же порядок[9].

Циклотомический класс[править | править код]

Следствием Теоремы 1 может быть тот факт, что, если  — корень полинома над полем , то и являются его корнями.

Определение: циклотомическим классом над полем , порождённым некоторым элементом называется множество всех различных элементов , являющихся -ми степенями [12].

Если  — примитивный элемент[13] (такой элемент, что и при ) поля , то циклотомический класс над полем будет иметь ровно элементов.

Следует отметить, что любой элемент из циклотомического класса может порождать этот и только этот класс, а, следовательно, и принадлежать только ему.

Примеры циклотомических классов[править | править код]

Пример 1. Пусть , и  — примитивный элемент поля , то есть и при . Учитывая также, что , можно получить разложение всех ненулевых элементов поля на три циклотомических класса над полем :

Пример 2. Аналогично можно построить классы на поле над полем , то есть . Пусть  — примитивный элемент поля , значит .

Связь с корнями полиномов[править | править код]

Следующая Теорема устанавливает связь между циклотомическими классами и разложением полинома на неприводимые полиномы над полем .

Теорема 3. Пусть циклотомический класс, порожденный элементом и полином имеет в качестве своих корней элементы этого циклотомического класса, то есть

Тогда коэффициенты полинома лежат в поле , а сам полином является неприводимым над этим полем.

Можно установить такое следствие из Теоремы 3. Из свойства конечных полей, говорящего о том, что все ненулевые элементы поля являются корнями многочлена , можно заключить, что многочлен можно разложить на неприводимые над полем многочлены , каждый из которых соответствует своему циклотомическому классу[14].

Виды многочленов[править | править код]

Примитивные многочлены[править | править код]

Определение. Порядок корней неприводимого многочлена называется показателем, к которому этот многочлен принадлежит. Неприводимый многочлен называется примитивным, если все его корни являются порождающими элементами мультипликативной группы поля[15].

Все корни примитивного многочлена имеют порядок, равный порядку мультипликативной группы расширенного поля , то есть [11].

Круговые многочлены[править | править код]

Пусть есть порождающий элемент мультипликативной группы поля , и её порядок равен , то есть . Пусть все элементы порядка являются корнями многочлена . Тогда такой многочлен называется круговым и верно равенство[16]:

Многочлены Жегалкина[править | править код]

Среди многочленов над конечными полями особо выделяют многочлены Жегалкина. Они представляют собой полиномы многих переменных над полем [17].

С помощью такого полинома можно задать любую булеву функцию[18] , причем единственным образом[17][19].

Применение[править | править код]

Существует множество алгоритмов, использующих многочлены над конечными полями и кольцами.

Также многочлены над конечными полями используются в современном помехоустойчивом кодировании[20] (для описания циклических кодов[21] и для декодирования кода Рида — Соломона с помощью алгоритма Евклида[22]), генераторах псевдослучайных чисел[23] (реализуются при помощи регистров сдвига)[24], поточном шифровании[25] и алгоритмах проверки целостности данных.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]