Множество

Мно́жество — одно из ключевых понятий математики; это математический объект, сам являющийся набором, совокупностью, собранием каких-либо объектов, которые называются элементами этого множества и обладают общим для всех их характеристическим свойством. Изучением общих свойств множеств занимаются теория множеств, а также смежные разделы математики и математической логики.

Примеры: множество жителей заданного города, множество непрерывных функций, множество решений заданного уравнения.

Множество может быть пустым и непустым, упорядоченным и неупорядоченным, конечным и бесконечным, бесконечное множество может быть счётным или несчётным. Более того, как в наивной, так и в аксиоматической теориях множеств любой объект обычно считается множеством. Понятие множества позволяет практически всем разделам математики использовать общую идеологию и терминологию.

История понятия

Основы теории конечных и бесконечных множеств были заложены Бернардом Больцано, который сформулировал некоторые из её принципов.

С 1872 года по 1897 год (главным образом в 1872—1884 годы) Георг Кантор опубликовал ряд работ, в которых были систематически изложены основные разделы теории множеств, включая теорию точечных множеств и теорию трансфинитных чисел (кардинальных и порядковых). В этих работах он не только ввёл основные понятия теории множеств, но и обогатил математику рассуждениями нового типа, которые применил для доказательства теорем теории множеств, в частности впервые к бесконечным множествам. Поэтому общепризнано, что теорию множеств создал Георг Кантор. В частности определил множество как «единое имя для совокупности всех объектов, обладающих данным свойством». Эти объекты назвал элементами множества. Множество объектов, обладающих свойством $A(x)$, обозначил $\{x\mid A(x)\}$. Если некоторое множество $Y=\{x\mid A(x)\}$, то $A(x)$ назвал характеристическим свойством множества $Y$.

Эта концепция привела к парадоксам, в частности, к парадоксу Рассела.

Так как теория множеств фактически используется как основание и язык всех современных математических теорий в 1908 году теория множеств была аксиоматизирована независимо Бертраном Расселом и Эрнстом Цермело. В дальнейшем многие исследователи пересматривали и изменяли обе системы, в основном сохранив их характер. До сих пор они всё ещё известны как теория типов Рассела и теория множеств Цермело. Впоследствии теорию множеств Кантора стало принято называть наивной теорией множеств, а вновь построенную — аксиоматической теорией множеств.

В практике, сложившейся с середины XX века множество определяется как модель, удовлетворяющая аксиомам ZFC (аксиомы Цермело — Френкеля с аксиомой выбора). При таком подходе в некоторых математических теориях возникают совокупности объектов, которые не являются множествами. Такие совокупности называются классами (различных порядков).

Элемент множества

Объекты, из которых состоит множество, называют элементами множества или точками множества. Множества чаще всего обозначают заглавными буквами латинского алфавита, его элементы — строчными. Если $a$ — элемент множества $A$, то записывают $a\in A$ («$a$ принадлежит $A$»). Если $a$ не является элементом множества $A$, то записывают $a\notin A$ («$a$ не принадлежит $A$»). В отличие от мультимножества каждый элемент множества уникален, и во множестве не может быть двух идентичных элементов. Иначе говоря, добавление к множеству элементов, идентичных уже принадлежащим множеству, не меняет его:

$\{6,11\}=\{11,6\}=\{11,11,6,11,6\}$.

Равенство $A=B$ двух множеств означает

$x\in A\iff x\in B.$

Задание множества

Существуют два основных способа задания множеств: перечисление и описание.

Первый способ состоит в том, что задаётся и перечисляется полный список элементов, входящих в множество. Например, множество $Y$ неотрицательных чётных чисел, меньших 10 можно задать в виде списка: $Y=\left\{0,2,4,6,8\right\}$. Данный способ удобно применять лишь к ограниченному числу конечных множеств.

Второй способ применяется, когда множество нельзя или затруднительно задать с помощью списка. В таком случае множества определяются свойствами их элементов. Множество $Y$ задано, если указано условие $A(x)$, которому удовлетворяют все элементы, принадлежащие множеству $Y$ и которому не удовлетворяют элементы, не принадлежащие множеству $Y$.

Обозначение

$Y=\{\,x\in X\mid A(x)\,\},$

используется для задания множества $Y$; оно означает, что множество $Y$ состоит из тех и только тех элементов $x$ множества $X$, для которых выполнено условие $A(x)$.

Например, график функции $f\colon X\to Y$ можно задать следующим образом:

$\Gamma =\{\,(x,y)\in X\times Y\mid f(x)=y\,\},$

Некоторые виды множеств и сходных объектов

Специальные множества

• Пустое множество — множество, не содержащее ни одного элемента.
• Одноэлементное множество — множество, состоящее из одного элемента.
• Универсальное множество (универсум) — множество, содержащее все мыслимые объекты. В связи с парадоксом Рассела данное понятие трактуется в настоящее время как «множество, включающее все множества, участвующие в рассматриваемой задаче».

Сходные объекты

• Кортеж (в частности, упорядоченная пара) — упорядоченная совокупность конечного числа именованных объектов. Записывается внутри круглых или угловых скобок, а элементы могут повторяться.
• Мультимножество (в теории сетей Петри называется «комплект») — множество с кратными элементами.
• Пространство — множество с некоторой дополнительной структурой.
• Вектор — элемент линейного пространства, содержащий конечное число элементов некоторого поля в качестве координат. Порядок имеет значение, элементы могут повторяться.
• Последовательность — функция одного натурального переменного. Представляется как бесконечный набор элементов (не обязательно различных), порядок которых имеет значение.
• Нечёткое множество — математический объект, подобный множеству, принадлежность которому задаётся не отношением, а функцией. Иными словами, относительно элементов нечёткого множества можно говорить «в какой мере» они в него входят, а не просто, входят они в него или нет.

По иерархии

• Множество множеств (в частности, булеан — множество всех подмножеств данного множества).
• Подмножество
• Надмножество

Отношения между множествами

Диаграмма Эйлера для $A\subset B$

Два множества $A$ и $B$ могут вступать друг с другом в различные отношения.

• $A$ включено в $B$, если каждый элемент множества $A$ принадлежит также и множеству $B$:

  $A\subseteq B\Leftrightarrow \forall a\in A\colon a\in B$

• $A$ включает $B$, если $B$ включено в $A$:

  $A\supseteq B\Leftrightarrow B\subseteq A$

• $A$ равно $B$, если $A$ и $B$ включены друг в друга:

  $A=B\Leftrightarrow (A\subseteq B)\land (B\subseteq A)$

  • Для любых множеств $A=A$
  • Если $A=B$, то $B=A$
  • Если $A=B$, $B=C$, то $A=C$.
• $A$ строго включено в $B$, если $A$ включено в $B$, но не равно ему:

  $A\subset B\Leftrightarrow (A\subseteq B)\land (A\neq B)$

• $A$ строго включает $B$, если $B$ строго включено в $A$:

  $A\supset B\Leftrightarrow B\subset A$

• $A$ и $B$ не пересекаются, если у них нет общих элементов:

  $A$ и $B$ не пересекаются $\Leftrightarrow \forall a\in A\colon a\notin B$

• $A$ и $B$ находятся в общем положении, если существует элемент, принадлежащий исключительно множеству $A$, элемент, принадлежащий исключительно множеству $B$, а также элемент, принадлежащий обоим множествам:

  $A$ и $B$ находятся в общем положении $\Leftrightarrow$ $\exists a,b,c\colon (a\in A)\land (a\notin B)\land (b\in B)\land (b\notin A)\land (c\in A)\land (c\in B)$

Операции над множествами

Диаграмма Венна для $A\cap B$

Диаграмма Венна для $A\cup B$

Диаграмма Венна для $A\setminus B$

Диаграмма Венна для $A\triangle B$

Бинарные операции

Основные бинарные операции, определяемые над множествами:

• пересечение:

  $A\cap B:=\{x\mid x\in A\land x\in B\}$.

• объединение:

  $A\cup B:=\{x\mid x\in A\lor x\in B\}$.

Если множества $A$ и $B$ не пересекаются, то $A\cap B=\varnothing$. Их объединение обозначают также: $A+B=A\cup B$.

• разность:

  $A\setminus B:=A\cap {\overline {B}}=\{x\mid x\in A\land x\notin B\}$.

• симметрическая разность:

  $A\bigtriangleup B\equiv A\;\;\!\!{\dot {-}}\;\;\!\!B:=$

  $(A\cup B)\setminus (A\cap B)=A\cap {\overline {B}}+{\overline {A}}\cap B=$

  $=\{x\mid (x\in A\land x\notin B)\lor (x\notin A\land x\in B)\}$.

• декартово или прямое произведение:

  $A\times B=\{(a,\;b)\mid a\in A,\;b\in B\}$.

Для объяснения смысла операций часто используются диаграммы Венна, на которых представлены результаты операций над геометрическими фигурами как множествами точек.

Всякая система множеств, замкнутая относительно операций объединения и пересечения, образует относительно объединения и пересечения дистрибутивную решётку.

Унарные операции

Диаграмма Венна для $(A\cap B)^{\complement }$

Дополнение определяется следующим образом:

${\overline {A}}\equiv A^{\complement }:=\{x\mid x\notin A\}$.

Операция дополнения подразумевает некоторый зафиксированный универсум (универсальное множество $U$, которое содержит $A$), и сводится к разности множеств с этим универсумом:

${\overline {A}}=U\setminus A$.

Система множеств с фиксированным универсумом, замкнутая относительно операций объединения, пересечения с введённым таким образом дополнением образует булеву алгебру.

Булеан — множество всех подмножеств:

$2^{X}\equiv {\mathcal {P}}X:=\{A\mid A\subset X\}$.

Обозначение $2^{X}$ происходит из свойства мощности множества всех подмножеств конечного множества:

$\left|2^{X}\right|=2^{|X|}$.

Булеан $2^{X}$ порождает систему множеств с фиксированным универсумом $X$, замкнутую относительно операций объединения и пересечения, то есть, образует булеву алгебру.

Приоритет операций

Последовательность выполнения операций над множествами, как и обычно, может быть задана скобками. При отсутствии скобок сначала выполняются унарные операции (дополнение), затем — пересечения, затем — объединения и разности, которые имеют одинаковый приоритет. Операции одного приоритета выполняются слева направо. При этом надо иметь в виду, что в отличие от арифметических сложения и вычитания, для которых верно, что $(a+b)-c=a+(b-c)$, для аналогичных операций над множествами это неверно. Например, если $A=\{1,3\},B=\{1,2\},C=\{2,3\},$ то $(A\cup B)\setminus C=\{1\},$ но, в то же время, $A\cup (B\setminus C)=\{1,3\}$.

Мощность

Мощность множества — характеристика множества, обобщающая понятие о количестве элементов для конечного множества таким образом, чтобы множества, между которыми возможно установление биекции были равномощны. Обозначается $|A|$ или $\sharp A$. Мощность пустого множества равна нулю, для конечных множеств мощность совпадает с числом элементов, для бесконечных множеств вводятся специальные кардинальные числа, соотносящиеся друг с другом по принципу включения (если $A\subseteq B$, то $|A|\leqslant |B|$) и распространением свойства мощности булеана конечного множества: $|2^{A}|=2^{|A|}$ на случай бесконечных множеств (само обозначение $2^{A}$ мотивировано этим свойством).

Наименьшая бесконечная мощность обозначается $\aleph _{0}$, это мощность счётного множества. Мощность континуума, биективного булеану счётного множества обозначается ${\mathfrak {c}}$ или $2^{\aleph _{0}}$. Континуум-гипотеза — предположение о том, что между счётной мощностью и мощностью континуума нет промежуточных мощностей.

Литература

• К. Куратовский, А. Мостовский. Теория множеств / Перевод с английского М. И. Кратко под редакцией А. Д. Тайманова. — М.: Мир, 1970. — 416 с.
• Столл Р. Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. / Перевод с английского Ю. А. Гастева и И. Х. Шмаина под редакцией Ю. А. Шихановича. — М.: Просвещение, 1968. — 232 с.