Канторово множество

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Множество Кантора»)
Перейти к навигации Перейти к поиску

Ка́нторово мно́жество (канторов дисконтинуум, канторова пыль) — один из простейших фракталов, подмножество единичного отрезка вещественной прямой, которое является классическим примером дисконтинуума в математическом анализе.

Описано в 1883 году Георгом Кантором. Этим он ответил на следующий вопрос Магнуса Миттаг-Леффлера заданный в письме от 21 июня 1882 года:[1]

Пусть обозначает множество предельных точек множества . Существует ли нигде неплотное множество , такое что пересечение
не пусто?

Определения[править | править код]

Классическое построение[править | править код]

Из единичного отрезка удалим среднюю треть, то есть интервал . Оставшееся точечное множество обозначим через . Множество состоит из двух отрезков; удалим теперь из каждого отрезка его среднюю треть, и оставшееся множество обозначим через . Повторив эту процедуру опять, удаляя средние трети у всех четырёх отрезков, получаем . Дальше таким же образом получаем последовательность замкнутых множеств . Пересечение

называется канторовым множеством.

Cantor set, in seven iterations

Множества

С помощью троичной записи[править | править код]

Канторово множество может быть также определено как множество чисел от нуля до единицы, которые можно представить в троичной записи с помощью только нулей и двоек (числа с единицей в n-м разряде вырезаются на n-м шаге построения). При этом следует отметить, что число принадлежит канторовому множеству, если у него есть хотя бы одно такое представление, например , так как .

В такой записи легко увидеть континуальность канторова множества.

Как аттрактор[править | править код]

Канторово множество может быть определено как аттрактор. Рассмотрим все последовательности точек такие, что для любого

или .

Тогда множество пределов всех таких последовательностей является канторовым множеством.

Как счётная степень простого двоеточия[править | править код]

В литературе по общей топологии канторово множество определяется как счётная степень двухточечного дискретного пространства — [2]; такое пространство гомеоморфно классически построенному канторову множеству (с обычной евклидовой топологией)[3][4].

Свойства[править | править код]

Вариации и обобщения[править | править код]

Канторов куб (обобщённый канторов дисконтинуум) веса  — -я степень двухточечного дискретного пространства . Канторов куб универсален для всех нульмерных пространств веса не больше . Каждый хаусдорфов компакт веса не больше есть непрерывный образ подпространства канторова куба .

Диадический компакт[en] — компакт, представимый как непрерывный образ канторова куба. Диадическое пространство[en][5] — топологическое пространство, для которого существует компактификация, являющаяся диадическим компактом.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Moore, Gregory H. The emergence of open sets, closed sets, and limit points in analysis and topology (англ.) // Historia Math. — 2008. — Vol. 35, no. 3. — P. 220–241.
  2. Энгелькинг, 1986, с. 136.
  3. Энгелькинг, 1986, с. 207—208.
  4. Канторово множество — статья из Математической энциклопедии. В. В. Федорчук
  5. Диадическое пространство — статья из Математической энциклопедии. В. А. Ефимов

Литература[править | править код]

  • Энгелькинг Р. . Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.