Множество Смита – Вольтерра – Кантора

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
После того, как чёрные промежутки будут удалены, белые точки образуют нигде не плотное множество меры 1/2.

Множество Смита – Вольтерра – Кантора (СВК), толстое множество Кантора, или ε-множество Кантора [1] — это пример множества точек на вещественной оси , которое нигде не плотно (в частности, оно не содержит какого-либо интервала), но, однако, имеет положительную меру. Множество Смита – Вольтерра – Кантора названо именами математиков Генри Смита[en], Вито Вольтерра и Георга Кантора. Множество Смита – Вольтерра топологически эквивалентно классическому канторову множеству.

Построение[править | править код]

Аналогично построению канторова множества, множество Смита – Вольтерра – Кантора строится путём удаления определённых интервалов из единичного отрезка [0, 1].

Процесс начинается с удаления средней части длины 1/4 из интервала [0, 1] (что эквивалентно удалению 1/8 отрезка с обоих сторон от средней точки 1/2), так что оставшееся множество равно

Следующие шаги состоят из удаления подинтервалов длины 1/4n из середины каждого из оставшихся 2n−1 интервалов. Так что на втором шаге удаляются интервалы (5/32, 7/32) и (25/32, 27/32), оставляя

Продолжаем бесконечно эти удаления, тогда множество Смита – Вольтерра – Кантора состоит из оставшихся точек. Рисунок ниже показывает первые пять итераций процесса.

Smith-Volterra-Cantor set.svg

Каждая последующая итерация в построении множества Смита – Вольтерра – Кантора удаляет пропорционально меньше из оставшихся интервалов. Этот процесс отличается от построения канторова множества, где пропорция удаляемой части на каждом интервале остаётся постоянной. В результате множество Смита – Вольтерра – Кантора имеет положительную меру, в то время как канторово множество имеет меру нуль.

Свойства[править | править код]

По построению, множество Смита – Вольтерра – Кантора не содержит интервалов, а потому имеет пустую внутренность. Множество является также пересечением последовательности замкнутых множеств, что означает, что множество замкнуто. В течение процесса построения множества из отрезка [0, 1] удаляются интервалы с общей длиной

что показывает, что оставшиеся точки имеют положительную меру 1/2. Это делает множество Смита – Вольтерра – Кантора примером замкнутого множества, граница которого имеет положительную меру Лебега.

Другие толстые множества Кантора[править | править код]

В общем случае можно удалить rn из каждого оставшегося подинтервала на n-ом шаге алгоритма, что приводит к множествам, подобным множествам Кантора. Полученное множество будет иметь положительную меру тогда и только тогда, когда сумма последовательности меньше меры исходного интервала. Если середина интервала длины удаляется из на каждой n-й итерации, где , мера Лебега оставшейся части равна

Таким образом, множество будет иметь положительную меру тогда и только тогда, когда

Прямое произведение множеств Смита – Вольтерра – Кантора может быть использовано для поиска имеющих ненулевую меру вполне несвязных множеств в пространствах более высоких размерностей. Применяя теоремы Данжуа – Риса[en] к двумерным множествам этого типа можно найти жорданову кривую, имеющую положительную площадь [2].

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

  • Aliprantis, Burkinshaw. Principles of Real Analysis. — San Diego, Lonlon, Boston, New York, Sydney, Tokyo, Toronto: Academic press, 1981. — ISBN 0-12-050257-7.
  • M. Balcerzak, A. Kharazishvili On uncountable unions and intersections of measurable sets // Georgian Mathematical Journal. — 1999. — Т. 6, вып. 3. — DOI:10.1023/A:1022102312024.

Ссылки[править | править код]