Множество раздела

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Множество раздела или катлокус точки p в римановом многообразии M — подмножество точек \operatorname{C}_p\subset M, через которые не проходит ни одна кратчайшая из p.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Множество раздела точки p стандартной сферы состоит из точки, противоположной p.
  • Множество раздела точки на поверхности бесконечного кругового цилиндра — прямая, параллельная оси цилиндра, проходящая по поверхности цилиндра со стороны, противоположной выбранной точке.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Множество раздела — замкнутое множество.
  • Множество раздела имеет нулевой объём.
  • Подмножество M\backslash \operatorname{C}_p диффеоморфно шару.
  • Если между точками p и q существуют две различные кратчайшие, то p\in \operatorname{C}_q и q\in \operatorname{C}_p.
  • Если p\in \operatorname{C}_q и кратчайшая \gamma между точками p и q единственна, то они являются сопряжёнными на продолжении \gamma.
  • Если M — аналитическое риманово многообразие, то множество раздела \operatorname{C}_p допускает локально конечную триангуляцию на открытые аналитические симплексы.
  • Расстояние от точки до её множества раздела равно радиусу инъективности этой точки.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Бураго Ю. Д., Залгаллер В. А. Введение в риманову геометрию. — СПб: Наука, 1994. — 318 с.