Множество раздела

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Множество раздела точки в римановом многообразии  — подмножество точек , через которые не проходит ни одна кратчайшая из .

Множество раздела также называется катлокус, от англ. cut locus.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Множество раздела точки стандартной сферы состоит из точки, противоположной .
  • Множество раздела точки на поверхности бесконечного кругового цилиндра — прямая, параллельная оси цилиндра, проходящая по поверхности цилиндра со стороны, противоположной выбранной точке.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Множество раздела — замкнутое множество.
  • Множество раздела имеет нулевой объём.
  • Подмножество диффеоморфно шару.
  • Если между точками и существуют две различные кратчайшие, то и .
  • Если и кратчайшая между точками и единственна, то они являются сопряжёнными на продолжении .
  • Если  — аналитическое риманово многообразие, то множество раздела допускает локально конечную триангуляцию на открытые аналитические симплексы.
    • Без аналитичности множество может быть даже нетриангулируемым.
  • Расстояние от точки до её множества раздела равно радиусу инъективности этой точки.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Бураго Ю. Д., Залгаллер В. А. Введение в риманову геометрию. — СПб: Наука, 1994. — 318 с.