Модель Дебая

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
 Просмотр этого шаблона  Статистическая физика
S = k_B \, \ln\Omega
Термодинамика
Молекулярно-кинетическая теория
См. также: Портал:Физика

В термодинамике и физике твёрдого тела модель Дебая — метод, развитый Дебаем в 1912 г. для оценки фононного вклада в теплоёмкость твёрдых тел. Модель Дебая рассматривает колебания кристаллической решётки как газ квазичастиц — фононов. Эта модель правильно предсказывает теплоёмкость при низких температурах, которая, согласно закону Дебая, пропорциональна T^3. В пределе высоких температур теплоёмкость стремится к 3R, согласно закону Дюлонга — Пти.

При тепловом равновесии энергия E набора осцилляторов с различными частотами \omega_\bold{K} равна сумме их энергий:

 E = \sum_\bold{K}{\langle n_\bold{K} \rangle \hbar \omega_\bold{K}} = \int{D(\omega) n(\omega) \hbar \omega d\omega}

где D(\omega) — число мод нормальных колебаний на единицу длины интервала частот, n(\omega) — количество осцилляторов в твёрдом теле, колеблющихся с частотой ω.

Функция плотности D(\omega) в трёхмерном случае имеет вид:

D(\omega)=\frac{V\omega^2}{2\pi^2 v^3}

где V — объём твёрдого тела, v — скорость звука в нём.

Значение квантовых чисел вычисляются по формуле Планка:

n=\frac{1}{e^\frac{\hbar \omega}{k_BT}-1}

Тогда энергия запишется в виде

E = \int\limits_0^{\omega_D}{\left(\frac{\omega^2V}{2\pi^2v^3}\right)\left(\frac{\hbar\omega}{e^\frac{\hbar\omega}{k_BT}-1}\right) d\omega}

\frac{U}{Nk_B} = 9T \left({T\over T_D}\right)^3\int\limits_0^{T_D/T}{x^3\over e^x-1}\, dx

где T_Dтемпература Дебая, N — число атомов в твёрдом теле, k_Bпостоянная Больцмана.

Дифференцируя внутреннюю энергию по температуре получим:

\frac{c_v}{Nk_B} = 9 \left({T\over T_D}\right)^3\int\limits_0^{T_D/T}\frac{x^4e^x}{(e^x-1)^2}\, dx

Молярная теплоёмкость твёрдого тела в теории Дебая[править | править исходный текст]

В модели Дебая учтено, что теплоёмкость твёрдого тела — это параметр равновесного состояния термодинамической системы. Поэтому волны, возбуждаемые в твёрдом теле элементарными осцилляторами, не могут переносить энергию. То есть они являются стоячими волнами. Если твёрдое тело выбрать в виде прямоугольного параллелепипеда с рёбрами a, b, c, то условия существования стоячих волн можно записать в виде:

n1•λx/2=a; n2•λy/2=b; n3•λz/2=c; (n1, n2, n3 — целые числа)

Перейдём к пространству, построенному на волновых векторах. Поскольку K=2π/λ, то

Kx=2π/λx=π•n1/a; Ky=2π/λy=π•n2/b; Kz=2π/λz=π•n3/c

Таким образом, в твёрдом теле могут существовать осцилляторы, с частотами, изменяющимися дискретно. Одному осциллятору в К-пространстве соответствует ячейка с объёмом

τ=∆Kx•∆Ky•∆Kz=\frac{ \pi^3}{a\cdot b\cdot c}=\frac{ \pi^3}{V},

где

∆Kx=π/a; ∆Ky=π/b; ∆Kz=π/c

В к-пространстве осцилляторам с частотами в интервале (ω, ω+dω) соответствует один октант сферического слоя с объёмом

dVk=4πK2dK/8=πK2dK/2

В этом объёме количество осцилляторов равно

dNk=dVk/τ=\frac{VK^{2}dK}{2\pi^2}

Учтём, что каждый осциллятор генерирует 3 волны: 2 поперечные и одну продольную. При этом K||=ω/v||, K=ω/v

Найдём внутреннюю энергию одного моля твёрдого тела. Для этого запишем взаимосвязь между волновым числом, скоростью распространения волн и частотой.

K^2 =K_ \|^2 + 2K_ \bot^2 =\left ( \frac{1}{v_ \|^2} + \frac{2}{v_ \bot^2} \right) \omega^2

d N_k =\frac{V}{2 \pi^2} \left (\frac{1}{v_ \|^2} + \frac{2}{v_ \bot^2} \right)^{\frac{3}{2}} \omega^2 d \omega =A \omega^2 d \omega

Колебания в твёрдом теле ограничены максимальным значением частоты  \omega_m. Определим граничную частоту из условия:

N =\int d N_k =\int_0^{\omega_ m} A \omega^2 d \omega =A \frac{\omega_m^3}{3} =3 N_a

 d N_k =9N_a \frac{\omega^2 d \omega}{\omega^3_m}

Отсюда:

 U_M =\int <\varepsilon> d N_k =\int_0^{\omega_m} \hbar \omega \left (\frac{1}{e^\frac{\hbar \omega}{K_B T} - 1} + \frac{1}{2} \right) 9N_a \frac{\omega^2 d \omega}{\omega^3_m}

<є> — средняя энергия квантового осциллятора (см. модель теплоёмкости Эйнштейна).

Кв — постоянная Больцмана.

Na — число Авогадро.

В последнем выражении сделаем следующую замену переменных:

X=\frac{\hbar \omega}{K_B T}; ℏω=KВθ; X_m =\frac{\hbar \omega _m }{K_B T}=\Theta /T; \frac{\omega}{\omega _m}=X\frac{K_B T}{\hbar}\frac{\hbar}{K_B\Theta}=X\frac{T}{\Theta}=X\frac{K_B T}{\hbar \omega _m}

Θ — температура Дебая

Теперь для UM получим

U_M =9N_a \hbar \int_0^{\omega _m} \left (\frac{1}{e^x - 1} + \frac{1}{2} \right) \frac{\omega^3 d\omega}{\omega^3 _m} =9N_a \hbar \left (\frac{T}{\theta} \right)^3 \frac{K_B T}{\hbar} \int_0^{\frac{\theta}{T}} \left (\frac{1}{e^x - 1} + \frac{1}{2} \right) x^3 dx =

=9RT \left (\frac{T}{\theta} \right)^3 \int_0^{\frac{\theta}{T}} (\frac{1}{e^x-1} + \frac{1}{2}) x^3 dx =9R \theta \left [\frac{1}{8} + \left (\frac{T}{\theta} \right)^4  \int_0^{\frac{\theta}{T}} \frac{x^3dx}{e^x - 1}\right]

Наконец, для молярной теплоёмкости получаем

C=dUM/dT=3R \left [ 12{\left ( \frac{T}{\Theta } \right ) }^3 \int_0^{\Theta /T} \frac{X^3}{e^X-1} dX - \frac{3\Theta /T}{e^{\Theta /T}-1}\right ]

Легко проверить, что при условии T→∞ C→3R, а при условии T→0 C→\frac{12R\cdot \pi^4}{5\cdot \Theta^3}\cdot T^3~T3

Интеграл \int_0^\infty \frac{X^3}{e^X-1} dX =\frac{\pi ^4}{15} может быть взят методами теории функций комплексной переменной или с использованием дзета-функции Римана. Таким образом, теория Дебая соответствует результатам экспериментов.

Литература[править | править исходный текст]