Модель Лотки — Вольтерры

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Модель Лотки — Вольтерра»)
Перейти к: навигация, поиск

Моде́ль Ло́тки — Вольте́рры (распространено неправильное название — модель Ло́тки — Вольтерра́[1]) — модель взаимодействия двух видов типа «хищник — жертва», названная в честь её авторов (Лотка, 1925; Вольтерра 1926), которые предложили модельные уравнения независимо друг от друга.

Такие уравнения можно использовать для моделирования систем «хищник — жертва», «паразит — хозяин», конкуренции и других видов взаимодействия между двумя видами (Одум, 1986).

В математической форме предложенная система имеет следующий вид:

,
,

где  — количество жертв,  — количество хищников,  — время,  — коэффициенты, отражающие взаимодействия между видами.

Решение системы уравнений[править | править вики-текст]

Постановка задачи[править | править вики-текст]

Рассматривается закрытый ареал, в котором обитают два вида — травоядные («жертвы») и хищники. Предполагается, что животные не иммигрируют и не эмигрируют, и что еды для травоядных животных имеется с избытком. Тогда уравнение изменения количества жертв (без учета хищников) принимает вид:

,

где  — коэффициент рождаемости жертв,  — величина популяции жертв,  — скорость прироста популяции жертв.

Пока хищники не охотятся, они вымирают, следовательно, уравнение для численности хищников (без учёта численности жертв) принимает вид:

,

где  — коэффициент убыли хищников,  — величина популяции хищников,  — скорость прироста популяции хищников.

При встречах хищников и жертв (частота которых прямо пропорциональна величине ) происходит убийство жертв с коэффициентом , сытые хищники способны к воспроизводству с коэффициентом . С учётом этого, система уравнений модели такова:

.

Решение задачи[править | править вики-текст]

Нахождение стационарной позиции системы[править | править вики-текст]

Для стационарной позиции изменение численности популяции равно нулю. Следовательно:

,
,

из чего следует, что стационарная точка системы, вокруг которой происходят колебания, определяется следующим образом:

,
.

Задание отклонения в системе[править | править вики-текст]

При внесении в систему колебаний и , из-за малой их величины их квадратами, кубами и последующими степенями () можно пренебречь. Таким образом, популяции и с малыми отклонениями описываются следующими выражениями:

,
.

Применяя их к уравнениям модели, следует:

Дифференцирование одного из этих уравнений и подстановка в другое даёт следующий результат:

,
.

Полученное выражение является пропорциональным уравнением гармонического осциллятора с периодом .

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]