Конформно-евклидова модель

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Модель Пуанкаре»)
Перейти к: навигация, поиск
Замощение плоскости Лобачевского правильными треугольниками.

Конформно-евклидова модель или модель Пуанкаре́ — модель пространства Лобачевского.

Существуют разновидности модели — в круге (стереографическая проекция) и на полуплоскости для планиметрии Лобачевского, а также в шаре и в полупространстве — для стереометрии Лобачевского, соответственно.

Конформно-евклидова модель примечательна тем, что в ней углы изображаются обычными углами (то есть эта модель конформна)[1] в отличие от проективной модели, в которой определение углов производится гораздо сложнее.

История[править | править вики-текст]

Эта модель была предложена Бельтрами, наряду с моделью Клейна и моделью псевдосферы[2] Впоследствии была популяризована Анри Пуанкаре в связи с задачами теории функций комплексного переменного.

Модели в круге и в шаре[править | править вики-текст]

Конформно-евклидова модель в круге.

За плоскость Лобачевского принимается внутренность круга (изображено на иллюстрации) в евклидовом пространстве; граница данного круга (окружность) называется «абсолютом». Роль геодезических прямых выполняют содержащиеся в этом круге дуги окружностей (a,\;b,\;b'), перпендикулярных абсолюту, и его диаметры; роль движений — преобразования, получаемые комбинациями инверсий относительно окружностей, дуги которых служат прямыми.

Метрикой ds плоскости Лобачевского в Конформно-евклидова модели в единичном круге является: ds^2=\frac{4}{(1-(x^2+y^2))^2}(dx^2+dy^2), где x и y — оси абсцисс и ординат, соответственно[3].

Аналогично, для Конформно-евклидова модели в шаре роль абсолюта выполняет граничная сфера в трёхмерном евклидовом пространстве, а пространством Лобачевского является внутренность шара.

Модели на полуплоскости и в полупространстве[править | править вики-текст]

За плоскость Лобачевского принимается верхняя полуплоскость. Прямая, ограничивающая полуплоскость (то есть ось абсцисс), называется «абсолютом». Роль прямых выполняют содержащиеся в этой полуплоскости полуокружности с центрами на абсолюте и начинающиеся на абсолюте перпендикулярные ему лучи (то есть вертикальные лучи). Роль движений — преобразования, получаемые композицией конечного числа инверсий с центром на абсолюте и осевых симметрий, оси которых перпендикулярны абсолюту.

Метрика ds плоскости Лобачевского в конформно-евклидовой моделе в верхней полуплоскости имеет вид: ds^2=\frac{1}{v^2}(du^2+dv^2)[3], где u и v — прямоугольные координаты, соответственно параллельно и перпендикулярно абсолюту.

Соответственно, в конформно-евклидова модели в полупространстве роль абсолюта выполняет плоскость в трёхмерном евклидовом пространстве, а пространством Лобачевского является лежащее на этой плоскости полупространство.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]