Эта статья входит в число хороших статей

Модель пересекающихся поколений

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Питер Артур Даймонд
Пол Энтони Самуэльсон

Модель пересекающихся (перекрывающихся) поколений (модель Даймонда, модель Самуэльсона — Даймонда, англ. overlapping generations model) — модель экзогенного экономического роста в условиях совершенной конкуренции. Внесла вклад в понимание того, каким образом решения индивидов формируют норму сбережений в экономике. В модели отражено изменение потребительского поведения индивида по мере взросления. Вместе с тем, в модели отрицаются альтруистические связи между поколениями, и она не даёт удовлетворительного объяснения межстрановым различиям в уровне дохода на душу населения. Разработана Питером Даймондом с использованием идей Пола Самуэльсона в 1965 году.

История создания[править | править код]

В первых моделях экономического роста (модель Солоу, модель Харрода — Домара) использовались экзогенно задаваемые параметры «норма сбережений» и «темп научно-технического прогресса», от которых, в конечном итоге, и зависели темпы роста. Исследователи же хотели получить обоснование темпов экономического роста внутренними (эндогенными) факторами, поскольку модели с заданной нормой сбережений имели ряд недостатков. Они не объясняли устойчивые различия в уровнях и темпах роста между развивающимися и развитыми странами. В модели Рамсея — Касса — Купманса был преодолён недостаток экзогенности нормы сбережений. Однако она сохранила другой недостаток ранних моделей — в ней рассматривается бесконечно живущий индивид (или домохозяйство) в качестве вечного потребителя[1]. Но по мере взросления характер потребительского поведения меняется. Если в молодом возрасте индивид работает и делает сбережения, то в старости он эти сбережения тратит[2]. Именно на это будущий лауреат Нобелевской премии по экономике Пол Самуэльсон обратил более пристальное внимание. В декабре 1958 года он опубликовал работу «Моделирование процентной ставки на основе соотношения потребления и кредитования при наличии или отсутствии социальной концепции денег», в которой была представлена простая модель экономики на основе идей Ойген фон Бём-Баверка о причинах существования процентного дохода на капитал, где были выделены три периода жизни индивидуума и соответствующее им потребление (в первых двух он работает, в третьем — выходит на пенсию)[3]. В декабре 1965 года Питер Даймонд, также будущий лауреат Нобелевской премии по экономике, опубликовал работу «Национальный долг в неоклассической модели роста» в журнале The American Economic Review (англ.), в которой он развил идеи Самуэльсона с учётом выводов модели Солоу и модели Рамсея — Касса — Купманса и представил модель пересекающихся поколений[1][2][4], также известную как модель Даймонда[5], модель Самуэльсона — Даймонда[6].

Описание модели[править | править код]

Базовые предпосылки модели[править | править код]

В модели рассматривается закрытая экономика. Фирмы максимизируют свою прибыль, а потребители — полезность своих трат. Фирмы функционируют в условиях совершенной конкуренции. Производится только один продукт , используемый как для потребления , так и для производственных нужд (учитывается как инвестиции) . Темпы технологического прогресса , роста населения и норма выбытия оборудования (капитала)  — постоянны и задаются экзогенно. Индивидуумы живут два периода: в первом они работают, потребляют и сберегают, во втором — только потребляют, тратя накопленные в первом периоде сбережения (выходят на пенсию). Альтруистические связи между поколениями отсутствуют: молодые не помогают старикам и не получают наследство. Время изменяется дискретно[6][7][8]. Один период в модели соответствует смене поколений, то есть в реальном выражении эквивалентен примерно 25—30 годам[9].

Закрытость экономики означает, что произведённый продукт тратится только на сбережение и потребление, экспорт/импорт отсутствуют, инвестиции равны сбережениям:, [10][11].

Производственная функция удовлетворяет неоклассическим предпосылкам[12]:

  1. технологический прогресс увеличивает производительность труда (нейтрален по Харроду): .
  2. в производственной функции используются труд и капитал , она обладает постоянной отдачей от масштаба: .
  3. предельная производительность факторов положительная и убывающая: .
  4. производственная функция удовлетворяет условиям Инады, а именно, если запас одного из факторов бесконечно мал, то его производительность бесконечно велика, если же запас одного из факторов бесконечно велик. то его производительность бесконечно мала: .
  5. для производства необходим каждый фактор: .

Население растёт с постоянным темпом : . В каждом периоде живёт молодых и пожилых индивидов. Совокупное потребление равно[13]:

,
где  — потребление работающего поколения,  — потребление вышедшего на пенсию поколения.

Молодой индивид предлагает одну единицу труда (предложение труда неэластично) и получает натуральную заработную плату (неким количеством единственного товара, деньги отсутствуют). Каждый индивид выбирает и разделяет полученное между потреблением в молодости или сбережением и потреблением в старости, максимизируя межвременную полезность своих трат, которая описывается следующей функцией[14]:

,
где  — эластичность замещения по времени, , ,  — коэффициент межвременного предпочтения потребителя, , .

Функция удовлетворяет условиям и условиям Инады (при потреблении, стремящемся к нулю, предельная полезность стремится к бесконечности; при потреблении, стремящемся к бесконечности, предельная полезность стремится к нулю): .

Вначале весь капитал находится у пожилых, они его полностью тратят в течение первого периода. Сбережения равны инвестициям, которые делает молодое поколение. Инвестиции в свою очередь равны капиталу в следующем периоде[6][15]:

,
где  — сбережения в расчёте на одного работника.

Для поиска решения модели используются удельные показатели: выпуск на единицу эффективного труда , капитал на единицу эффективного труда [16].

Задача потребителя[править | править код]

Потребитель максимизирует межвременную полезность своих трат. Поскольку, согласно модели, индивид работает только в молодости (первом периоде), межвременное бюджетное ограничение потребителя соответствует формуле[17]:

.

Таким образом, задача потребителя имеет следующий вид:

при условии:
,
где  — реальная заработная плата в периоде .

Для решения этой задачи составляется функция Лагранжа и находится её максимум[17].

Результатом решения этой системы уравнений является норма сбережений для периода [15]:

.

Задача фирмы[править | править код]

Фирма максимизирует свою прибыль . Выпуск фирмы описывается неоклассической производственной функцией[18]:

, где .

Задача фирмы выглядит следующим образом:

В условиях совершенной конкуренции решение задачи фирмы приводит к тому, что плата за труд (заработная плата) и плата за капитал (процентная ставка) равны соответствующим предельным производительностям[19][18]:

,
.

Общее экономическое равновесие[править | править код]

Модель пересекающихся поколений, фазовая плоскость, вариант 1
Модель пересекающихся поколений, фазовая плоскость, вариант 2
Модель пересекающихся поколений, фазовая плоскость, производственная функция Кобба — Дугласа, логарифмическая функция полезности: достижение равновесия

По предпосылкам модели:. Откуда с учётом решения задач потребителя и фирмы, получаем[19]:

.

Поскольку входит как в правую, так и в левую части уравнения, найти явные решения этого уравнения можно только введя дополнительные предпосылки. При условии, что потребление в первом периоде и потребление во втором периоде являются совершенными заменителями, то равновесие существует. Если при этом сбережения монотонно возрастают по процентной ставке (), то это равновесие является единственным.

Если обозначить , где  — сбережения в расчёте на единицу труда с постоянной эффективностью в периоде , то уравнение примет вид[20]:

.

Откуда можно выразить динамику капиталовооружённости[20]:

.

В результате может получиться два варианта фазовой плоскости (см. иллюстрации). В первом варианте кривая выходит из начала координат под углом более чем 45° (выше линии ), и в модели будет нечётное число равновесных состояний (пересечения и ), из которых пересечения, по порядку идущие нечётными от начала координат (первое, третье, пятое и т. д.), будут устойчивыми равновесиями, а идущие чётными (второе, четвёртое и т. д.) — неустойчивыми. Во втором варианте кривая выходит из начала координат под углом менее чем 45° (ниже линии ), и в модели будет чётное число равновесных состояний, из которых пересечения, идущие чётными от начала координат (второе, четвёртое и т. д.), будут устойчивыми равновесиями, а идущие нечётными (первое, третье и т. д.) — неустойчивыми[21].

Равновесие для производственной функции Кобба-Дугласа и логарифмической функции полезности[править | править код]

Наглядно достижение равновесия можно продемонстрировать в случае логарифмической функции полезности и производственной функции Кобба-Дугласа. В этом случае , а полезность трат для индивида описывается функцией[22]:

.

Выпуск описывается следующей функцией:

.

Тогда, норма сбережений равна: , а устойчивый уровень капиталовооружённости (в данном случае существует только одно равновесное состояние) равен[22][23]: .

Процесс достижения равновесия на фазовой плоскости для рассматриваемого случая показан на иллюстрации.

Устойчивый уровень выпуска на единицу труда с постоянной эффективностью в этом случае составляет:

.

Как и в моделях Солоу и Рамсея — Касса — Купманса, потребление максимально в том случае, если . Таким образом, в модели возможна динамическая неэффективность (избыточное накопление капитала), в том случае, если[24]:

.

Конвергенция[править | править код]

Модель предполагает наличие условной конвергенции, то есть, что страны с малым уровнем капиталовооружённости будут расти более высокими темпами, чем страны с большим уровнем капиталовооружённости, при условии, что устойчивое состояние у них одинаково. Частный случай с производственной функцией Кобба — Дугласа и логарифмической полезностью позволяет оценить, насколько быстро она происходит. Скорость приближения к устойчивому состоянию можно оценить при помощи линейной аппроксимации в зависимости от посредством разложения в ряд Тейлора[25]:

.

Если обозначить производную в точке равновесия , то путем рекуррентных постановок получается следующее уравнение приближения к равновесному состоянию:

.

Для рассматриваемого случая, , потому:

.

Таким образом, в рассматриваемом случае скорость конвергенции напрямую зависит от — доли дохода на капитал в общем доходе. Чем меньше доля дохода на капитал, тем быстрее происходит движение к равновесному состоянию, и тем быстрее бедные страны догоняют богатые[9].

Фискальная политика в модели[править | править код]

Модель пересекающихся поколений, фазовая плоскость, фискальная политика

Модель позволяет оценить влияние фискальной политики на равновесие. В рамках модели, увеличение налогов и государственных расходов приводит к равновесию с меньшим уровнем капиталовооружённости, выпуска и потребления. Влияние бюджетно-налоговой политики показано на диаграмме. Кривая сдвигается вниз на величину — налогов (государственных расходов) на единицу эффективного труда, величина налогов предполагается равной величине государственных расходов, которые не влияют на полезность индивидов и будущий выпуск. Равновесие сдвигается из точки (устойчивое равновесие) в точку (устойчивое равновесие), и устанавливается на более низком уровне капиталовооружённости и потребления. Появившаяся третья равновесная точка является неустойчивым равновесием. Равенство Рикардо — Барро не выполняется[6][26]. Таким образом, в модели государственные расходы вытесняют как потребление, так и инвестиции[27].

Преимущества, недостатки и дальнейшее развитие модели[править | править код]

Одним из существенных недостатков модели является полное отрицание альтруистических связей между поколениями[28]. Чтобы преодолеть этот недостаток, Джеймс Андреони (англ.), а также Роберт Барро и Хавьер Сала-и-Мартин предложили ввести в функцию полезности трат каждого индивида полезность трат его детей с некоторым коэффициентом[29][4]. В этом случае модель превращается в дискретный аналог модели Рамсея — Касса — Купманса для случая когда . Динамическая эффективность становится невозможной, а последствия бюджетно-налоговой политики отвечают равенству Рикардо — Барро. Однако в этом случае модель приобретает и недостатки модели Рамсея — Касса — Купманса: утрачивается возможность несовершенства рынка (динамической неэффективности), а значит, модель перестает объяснять причины, приводящие к неоптимальному по Парето равновесию в экономике[26].

Пол Самуэльсон использовал данную модель для исследования влияния распределительной пенсионной системы на общее экономическое равновесие. В работе показано, что, если в экономике установилось динамически неэффективное равновесие с избыточным накоплением капитала, то распределительная пенсионная система позволяет перейти к более оптимальному распределению ресурсов с более высоким потреблением[30][31]. Если же используется накопительная пенсионная система, то экономическое равновесие остается прежним[32].

Модификация модели с непрерывным временем, в которой жизнь индивида не делится на периоды молодости и старости, однако индивид может умереть в любой момент с некоторой вероятностью, была разработана Менахемом Яари[33] и Оливье Бланшаром[34]. Из-за того, что в этой модификации вероятность смерти индивида не меняется с возрастом, она получила название «модель вечной молодости»[35]. В ней существует единственное равновесное значение капиталовооружённости, которое при этом устойчиво, и так же, как и в основном варианте, присутствует возможность избыточного накопления в точке равновесия[36].

В целом, модель пересекающихся поколений более реалистично описывает общее экономическое равновесие и процесс его достижения, чем модели Солоу или Рамсея — Касса — Купманса[26]. Преимуществом модели является возможность динамической неэффективности, однако в модели она связана с избыточным накоплением капитала, которое не является типичной проблемой развивающихся стран, напротив, характеризующихся недостаточным накоплением капитала[37]. К тому же, модель предполагает наличие условной конвергенции, что означает, что бедные страны должны расти быстрее богатых при условии схожести структурных параметров, но в реальности этого не происходит, как показали, например, исследования Р. Холла и Ч. Джонса[38], Дж. Де Лонга[39], П. Ромера[40]. Также, как и в моделях Солоу и Рамсея — Касса — Купманса, научно-технический прогресс в модели пересекающихся поколений не является следствием принятия решений экономическими агентами, а задаётся экзогенно. Потому, при всех своих достоинствах, модель не даёт ответа на вопрос, почему одни страны богатые, а другие — бедные, и почему вторые не могут догнать первых[37].

Примечания[править | править код]

  1. 1 2 Аджемоглу, 2018, с. 501.
  2. 1 2 Туманова, Шагас, 2004, с. 252.
  3. Samuelson, 1958.
  4. 1 2 Барро, Сала-и-Мартин, 2010, с. 252.
  5. Ромер Д., 2014, с. 110.
  6. 1 2 3 4 Diamond, 1965.
  7. Туманова, Шагас, 2004, с. 252—256.
  8. Аджемоглу, 2018, с. 501—505.
  9. 1 2 Туманова, Шагас, 2004, с. 264.
  10. Туманова, Шагас, 2004, с. 187.
  11. Аджемоглу, 2018, с. 36—47.
  12. Туманова, Шагас, 2004, с. 256.
  13. Аджемоглу, 2018, с. 505.
  14. Аджемоглу, 2018, с. 509.
  15. 1 2 Туманова, Шагас, 2004, с. 255.
  16. Аджемоглу, 2018, с. 91.
  17. 1 2 Туманова, Шагас, 2004, с. 254.
  18. 1 2 Аджемоглу, 2018, с. 506.
  19. 1 2 Туманова, Шагас, 2004, с. 257.
  20. 1 2 Туманова, Шагас, 2004, с. 258.
  21. Туманова, Шагас, 2004, с. 260.
  22. 1 2 Туманова, Шагас, 2004, с. 262.
  23. Аджемоглу, 2018, с. 513.
  24. Туманова, Шагас, 2004, с. 265.
  25. Туманова, Шагас, 2004, с. 263.
  26. 1 2 3 Туманова, Шагас, 2004, с. 271.
  27. Туманова, Шагас, 2004, с. 267.
  28. Туманова, Шагас, 2004, с. 268.
  29. Andreoni, 1989.
  30. Samuelson P., 1975.
  31. Аджемоглу, 2018, с. 522.
  32. Аджемоглу, 2018, с. 520.
  33. Yaari, 1965.
  34. Blanchard, 1985.
  35. Аджемоглу, 2018, с. 544.
  36. Аджемоглу, 2018, с. 539.
  37. 1 2 Аджемоглу, 2018, с. 542.
  38. Hall, Jones, 1996.
  39. De Long, 1988.
  40. Romer P. M., 1989.

Литература[править | править код]