Модифицированные функции Бесселя

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Модифици́рованные фу́нкции Бе́сселя — это функции Бесселя от чисто мнимого аргумента.

Если в дифференциальном уравнении Бесселя

заменить на , оно примет вид

Это уравнение называется модифицированным уравнением Бесселя .

Если не является целым числом, то функции Бесселя и являются двумя линейно независимыми решениями уравнения . Однако чаще используют функции

и

Их называют модифицированными функциями Бесселя первого рода или функциями Инфельда . Если  — вещественное число, а z неотрицательно, то эти функции принимают вещественные значения.

называется порядком функции.

Функция

также является решением уравнения . Её называют модифицированной функцией Бесселя второго рода или функцией Макдональда . Очевидно, что

и принимает вещественные значения, если  — вещественное число, а положительно.

График модифицированных функций Бесселя первого рода с различными порядками
График модифицированных функций Бесселя второго рода с различными порядками

Функции целого порядка[править | править код]

Так как при целом в качестве фундаментальной системы решений уравнения выбирают и где

Рекуррентные соотношения и формулы дифференцирования[править | править код]

Модифицированные функции Бесселя первого рода[править | править код]

Модифицированные функции Бесселя второго рода[править | править код]

Вронскиан системы модифицированных функций Бесселя[править | править код]

Интегральные представления[править | править код]

Модифицированные функции Бесселя первого рода[править | править код]

 — гамма-функция.




Модифицированные функции Бесселя второго рода[править | править код]



Асимптотическое поведение[править | править код]

Частный случай:

См. также[править | править код]

Литература[править | править код]

  • Ватсон Г. Теория бесселевых функций. Т. 1, 2. — М.: ИЛ, 1949.
  • Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены: Справочная математическая библиотека. — М.: Физматгиз, 1966. — 296 с.

Ссылки[править | править код]