Модулярная группа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
ModularGroup-FundamentalDomain-01.png

Модулярная группа — группа всех преобразований Мёбиуса вида

где  — целые числа, причём .

Модулярная группа отождествляется с факторгруппой . Здесь  — группа матриц

где  — целые числа, .

Модулярная группа является дискретной группой преобразований верхней комплексной полуплоскости (плоскости Лобачевского) и допускает представление образующими

и соотношениями , то есть является свободным произведением циклической группы порядка 2, порождённой , и циклической группы порядка 3, порождённой .

Для произвольного преобразования из модулярной группы справедливо равенство:

Поскольку мнимая часть ненулевая, а числа и  — целые, не равные нулю одновременно, то величина отделена от нуля (не может быть сколь угодно малой). Это означает, что в орбите любой точки есть такая, на которой мнимая часть достигает своего максимума.

Фундаментальная область (каноническая) модулярной группы — это замкнутая область

Легко проверить, используя (1), что преобразования модулярной группы не увеличивают мнимую часть точек из . Из этого следует, что для того, чтобы две точки принадлежали , их мнимая часть должна быть одинакова: . Таким условиям отвечают следующие преобразования и точки:

  1.  — любая точка;

В частности, все точки области имеют тривиальный стабилизатор, кроме трёх:

Кроме того, из этого следует что при факторизации верхней полуплоскости по действию модулярной группы внутренние точки отображаются инъективно, тогда как граничные — склеиваются с точками, «зеркальными» к ним относительно прямой .

Чтобы показать, что всякая точка из конгруэтна некоторой точке из , рассмотрим в её орбите, порождённой преобразованиями и , точку с максимальной мнимой частью и с помощью целочисленного сдвига сдвинем так, чтобы вещественная часть её образа стала по модулю не больше, чем 1/2. Тогда образ принадлежит (иначе, если бы его модуль был меньше 1, с помощью преобразования можно было бы строго увеличить мнимую часть).

Легко показать также, что преобразования и порождают всю модулярную группу. Пусть  — произвольное модулярное преобразование и  — внутренняя точка . Как описано выше, найдём преобразование переводящее в область . Точки и лежат в , причём  — внутренняя, следовательно, . Тогда преобразование лежит в стабилизаторе точки , который тривиален. Следовательно, лежит в группе, порождённой преобразованиями и .

Интерес к модулярной группе связан с изучением модулярных функций, римановой поверхностью которых является факторпространство , отождествляемое с фундаментальной областью модулярной группы. Фундаментальная область имеет конечную площадь, то есть модулярная группа есть фуксова группа первого рода.