Модулярная функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Модулярная форма»)
Перейти к: навигация, поиск

Модулярная функция — мероморфная функция, определённая на верхней комплексной полуплоскости (то есть на множестве ), являющаяся инвариантной относительно превращений модулярной группы или некоторой её подгруппы и удовлетворяющая условиям голоморфности в параболических точках. Модулярные функции и обобщающие их модулярные формы[⇨] широко используются в теории чисел, а также в алгебраической топологии и теории струн.

Формально, модулярной функцией называется мероморфная функция, удовлетворяющая условию:

для каждой матрицы:

,

принадлежащей модулярной группе .

Модулярная форма[править | править вики-текст]

Модулярной формой веса для группы называется голоморфная функция , удовлетворяющая условию:

для любых и

и голоморфная во всех параболических точках[1][2].

Пусть  — верхняя комплексная полуплоскость: . Группа матриц для натурального числа определяется как:

.

Группа действует на с помощью дробно-линейных преобразований где и .[3]

Свойства модулярных форм[править | править вики-текст]

Модулярные формы нечётного веса равны нулю. Модулярной формой веса является (при ) ряд Эйзенштейна:

,

где .

Пусть

— модулярные инварианты,  — модулярный дискриминант. Определив следующим образом основной модулярный инвариант (j-инвариант):

,

выполняются равенства:

,
.

Также данные функции удовлетворяют соответствующие свойства голоморфности. То есть  — модулярная форма веса 4,  — модулярная форма веса 12. Соответственно  — модулярная форма веса 12, а  — модулярная функция. Данные функции имеют важное применение в теории эллиптических функций и эллиптических кривых.

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Сарнак П. Модулярные формы и их приложения. — М.: ФАЗИС, 1998. — ISBN 5-70364029-4.
  • Tom M. Apostol. Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory. — New York: Springer-Verlag, 1990. — ISBN 0-387-97127-0.
  • Robert A. Rankin. Modular forms and functions. — Cambridge: Cambridge University Press, 1977. — ISBN 0-521-21212-X.
  • В.В. Прасолов, Ю.П. Соловьев. Эллиптические функции и алгебраические уравнения. — Факториал, 1997. — 288 с. — ISBN 5-88688-018-6.

Ссылки[править | править вики-текст]