Марковский момент времени (в теории случайных процессов) — это случайная величина, не зависящая от будущего рассматриваемого случайного процесса.
Пусть дана последовательность случайных величин . Тогда случайная величина называется марковским моментом (времени), если для любого событие зависит только от случайных величин .
Пусть — последовательность независимых нормальных случайных величин. Пусть , и
— момент первого достижения процессом уровня . Тогда — марковский момент, ибо тогда и только тогда, когда существует такое, что . Таким образом событие зависит лишь от поведения процесса до момента времени .
Пусть теперь
— момент последнего достижения процессом уровня . Тогда не является марковским моментом, ибо событие предполагает знание поведения процесса в будущем.
- Пусть дано вероятностное пространство с фильтрацией , где . Тогда случайная величина принимающая значения в называется марковским моментом относительно данной фильтрации, если .
- Если дан процесс , и — его естественные σ-алгебры, то говорят, что — марковский момент относительно процесса .
- Марковский момент называется моментом остановки, если он конечен почти наверное, то есть
- .
Если и — марковские моменты, то
- — марковский момент;
- — марковский момент;
- — марковский момент.
Замечание: момент остановки может не иметь конечного математического ожидания.
Пусть — стандартный винеровский процесс. Пусть . Определим
- .
Тогда — марковский момент, имеющий распределение, задаваемое плотностью вероятности
- .
В частности — момент остановки. Однако,
- .
Ссылки на внешние ресурсы |
---|
| |
---|