Наблюдаемость (теория управления)

Наблюдаемость в теории управления — свойство системы, показывающее, можно ли по выходу полностью восстановить информацию о состояниях системы.

Определения

Система называется наблюдаемой, если на конечном интервале времени по выходу системы в конце этого интервала $y(t1)\in \mathbb {R} ^{q}$ при известном управляющем воздействии $u(t)\in \mathbb {R} ^{p}$ можно определить все начальные компоненты вектора состояния $x(t0)\in \mathbb {R} ^{n}$'.

Соответственно наблюдаемыми состояниями системы являются те компоненты вектора состояния, которые можно восстановить по условиям, приведённым выше.

Более формально можно сказать, что наблюдаемость позволяет по выходу системы судить о процессах, происходящих внутри неё. Ввиду того, что состояния системы играют важную роль в управлении с помощью обратных связей, важно, чтобы они были наблюдаемыми.

Критерий наблюдаемости

Для линейных систем существует критерий наблюдаемости в пространстве состояний.

Пусть существует система порядка $n$ (с $n$ компонентами вектора состояния), $p$ входами и $q$ выходами, записанная в виде:

${\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)$

$\mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t)+D(t)\mathbf {u} (t)$

где

$x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$; $y(t)\in \mathbb {R} ^{q}$; $u(t)\in \mathbb {R} ^{p}$;

$\operatorname {dim} [A(\cdot )]=n\times n$, $\operatorname {dim} [B(\cdot )]=n\times p$, $\operatorname {dim} [C(\cdot )]=q\times n$, $\operatorname {dim} [D(\cdot )]=q\times p$, ${\dot {\mathbf {x} }}(t):={d\mathbf {x} (t) \over dt}$.

здесь $x(\cdot )$ — «вектор состояния», $y(\cdot )$ — «вектор выхода», $u(\cdot )$ — «вектор входа», $A(\cdot )$ — «матрица системы», $B(\cdot )$ — «матрица входа», $C(\cdot )$ — «матрица управления», $D(\cdot )$ — «сквозная матрица».

Для неё можно составить матрицу наблюдаемости:

${\begin{bmatrix}C\\CA\\CA^{2}\\\vdots \\CA^{n-1}\end{bmatrix}}$

Согласно критерию наблюдаемости если ранг матрицы наблюдаемости равен $n$, система является наблюдаемой.

См. также

• Управляемость

Ссылки

• Лекции по теории автоматического управления