Наблюдатель (динамические системы)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Система

(1)
(2)

является наблюдателем для системы

(3),
(4),

если для каждого начального состояния системы (3)-(4) существует начальное состояние для системы (1)-(2), такое, что равенство приводит к при всех управлениях .

Здесь  — матрицы соответствующей размерности.

Если размерность равна размерности и выполнение условия дает при всех управлениях , то система (1) называется наблюдателем полного порядка для системы (3)-(4).

Набор дифференциальных уравнений (3) описывает изменение во времени состояния некоторой системы. -мерный вектор , называемый вектором состояния, описывает состояние этой системы в момент времени . -мерный вектор описывает управляющие воздействия на систему и называется вектором управления или просто управлением.

-мерный вектор представляет собой линейную комбинацию переменных состояния системы (3), которую мы можем измерить. Обычно . называют наблюдаемой переменной.

Теорема 1. Система (1) является наблюдателем полного порядка для системы (3)-(4) тогда и только тогда, когда , , , где является произвольной переменной во времени матрицей соответствующей размерности. В результате наблюдатели полного порядка имеют следующую структуру:

(5).

Матрица называется матрицей коэффициентов усиления наблюдателя. Наблюдатель полного порядка можно также представить в виде

,

откуда следует, что устойчивость наблюдателя определяется поведением матрицы

.

В случае системы с постоянными параметрами, когда все матрицы в постановке задачи являются постоянными, включая матрицу коэффициентов усиления , устойчивость наблюдателя следует из расположения характеристических чисел матрицы , называемых полюсами наблюдателя. Наблюдатель будет устойчив, если все его полюса расположены в левой половине комплексной плоскости.

Теорема 2. Рассмотрим наблюдатель полного порядка (5) для системы (3)-(4). Ошибка восстановления

удовлетворяет дифференциальному уравнению

.

Ошибка восстановления обладает тем свойством, что

при

для всех тогда и только тогда, когда наблюдатель является асимптотически устойчивым.

Чем дальше в левой половине комплексной полуплоскости удалены полюса наблюдателя, тем быстрее сходится ошибка восстановления к нулю. Это достигается увеличением матрицы коэффициентов усиления , однако это повышает чувствительность наблюдателя к шумам измерений, которые, возможно, присутствуют в наблюдаемой переменной .

Примечания[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]