Направленность (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Направленность (направление, сеть) — обобщение понятия последовательности применяемое главным образом в топологии позволяет нужным образом обобщить понятие предела последовательности.

Направленностью в топологическом пространстве называется всякое отображение из некоторого направленного по возрастанию множества в . Обозначения: или просто .

Всякую последовательность можно рассматривать как направленность, в этом случае роль направленного множества играет множество натуральных чисел .

Более содержательный пример направленности строится с использованием окрестностей точки в качестве индексов. Для некоторой точки топологического пространства рассматривается семейство всех её окрестностей. Отношение включения задает на структуру направленного множества: окрестности упорядочены как , если . Каждой окрестности сопоставляется ее произвольная точка , такое отображение является направленностью.

Связанные определения[править | править код]

Предел направленности[править | править код]

Направленность называется сходящейся к точке , если для любой окрестности точки существует индекс такой, что для всякого . Точка называется пределом направленности и обозначается .

Множество всех пределов направленности обозначается как . Если направленность имеет ровно один предел , то пишут

Если топологическое пространство хаусдорфово, то каждая сходящаяся направленность имеет ровно один предел. Верно и обратное: если каждая сходящаяся направленность имеет ровно один предел, то пространство хаусдорфово.

Понятие предела направленности тесно связано с понятием точки прикосновения: точка является точкой прикосновения множества тогда и только тогда, когда существует сходящаяся к этой точке направленность элементов этого множества.

Поднаправленность[править | править код]

Понятие подпоследовательности можно обобщить на направленности. Направленность называется поднаправленностью (более тонкой направленностью) направленности , если для любого найдётся такой индекс , что для всякого найдется , удовлетворяющий равенству .

Каждая последовательность обладает поднаправленностью, которая сама последовательностью не является.

Литература[править | править код]