Нелинейное уравнение Шрёдингера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Нелине́йное или куби́ческое уравне́ние Шрёдингера (НУШ, англ. Nonlinear Schrödinger equation (NLS)) — нелинейное уравнение в частных производных второго порядка, играющее важную роль в теории нелинейных волн, в частности, в нелинейной оптике и физике плазмы.

Уравнение имеет вид:[1]

где  — комплекснозначная функция.

Значение в физике[править | править вики-текст]

Нелинейное уравнение Шрёдингера описывает огибающую волнового пакета в среде с дисперсией и кубической нелинейностью. Подобная ситуация встречается, например, при распространении электромагнитных волн в плазме: с одной стороны плазма является диспергирующей средой, с другой стороны, при достаточно высоких амплитудах волны проявляется пондеромоторная нелинейность, которая в некоторых случаях может быть аппроксимирована кубическим членом. Другим примером является распространение света в нелинейных кристаллах с дисперсией: во многих случаях квадратичная нелинейность мала или тождественно равна нуля в силу центральной симметрии кристаллической решётки, поэтому учитывается только кубический член.

Решения[править | править вики-текст]

Для нелинейного уравнения Шрёдингера найдено большое количество точных решений, представляющих собой стационарные нелинейные волны. В частности, решениями являются функции вида

где r, s, U — постоянные, связанные соотношениями:

а функция v(q) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению вида

,

где . Периодические решения этого уравнения имеют форму кноидальных волн. Кроме того, имеется локализованное решение солитонного типа:

Таким образом, параметр определяет амплитуду волн, а параметр U — их скорость. Интересно, что солитонные решения для нелинейного уравнения качественно совпадает с солитонными решения для другого важного нелинейного уравнения — уравнения Кортевега — де Фриза (КдФ), однако отличается, во-первых, тем, что амплитуда и скорость солитонов в НУШ независимы, а в КдФ связаны между собой, а во-вторых, тем, что в НУШ локализованные решения — это солитоны огибающих, а в КдФ — истинные солитоны.

Солитонные решения обладают особым значением, поскольку при стационарные решения нелинейного уравнения Шрёдингера неустойчивы и распадаются на множество солитонов. При заданном произвольном начальном распределении функции решение может быть найдено методом обратной задачи рассеяния.

Интегралы[править | править вики-текст]

Нелинейное уравнение Шрёдингера вполне интегрируемо и обладает неограниченным набором интегралов движения. Примерами могут служить следующие интегралы:

где верхняя черта означает взятие комплексного сопряжения.

Литература[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Дж. Уизем. Линейные и нелинейные волны. — Мир, 1977. — С. 574—578. — 622 с.