Нелинейное уравнение Шрёдингера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Нелине́йное или куби́ческое уравне́ние Шрёдингера (НУШ, англ. Nonlinear Schrödinger equation (NLS)) — нелинейное уравнение в частных производных второго порядка, играющее важную роль в теории нелинейных волн, в частности, в нелинейной оптике и физике плазмы.

Уравнение имеет вид:[1]

i\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \nu|u|^2u = 0

где u(x, t) — комплекснозначная функция.

Значение в физике[править | править исходный текст]

Нелинейное уравнение Шрёдингера описывает огибающую волнового пакета в среде с дисперсией и кубической нелинейностью. Подобная ситуация встречается, например, при распространении электромагнитных волн в плазме: с одной стороны плазма является диспергирующей средой, с другой стороны, при достаточно высоких амплитудах волны проявляется пондеромоторная нелинейность, которая в некоторых случаях может быть аппроксимирована кубическим членом. Другим примером является распространение света в нелинейных кристаллах с дисперсией: во многих случаях квадратичная нелинейность мала или тождественно равна нуля в силу центральной симметрии кристаллической решётки, поэтому учитывается только кубический член.

Решения[править | править исходный текст]

Для нелинейного уравнения Шрёдингера найдено большое количество точных решений, представляющих собой стационарные нелинейные волны. В частности, решениями являются функции вида

u(x, t) = \exp\left\{irx - ist\right\}v(x - Ut)

где r, s, U — постоянные, связанные соотношениями:

r = \frac{U}{2} \qquad s = \frac{U^2}{4} - \alpha

а функция v(q) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению вида

\frac{d^2v}{dq^2} - \alpha v + \nu v^3 = 0,

где \alpha = s - r^2. Периодические решения этого уравнения имеют форму кноидальных волн. Кроме того, имеется локализованное решение солитонного типа:

v = \frac{\sqrt{2\alpha/\nu}}{\cosh^2\left[\sqrt{\alpha}\left(x - Ut\right)\right]}

Таким образом, параметр \alpha определяет амплитуду волн, а параметр U — их скорость. Интересно, что солитонные решения для нелинейного уравнения качественно совпадает с солитонными решения для другого важного нелинейного уравнения — уравнения Кортевега — де Фриза (КдФ), однако отличается, во-первых, тем, что амплитуда и скорость солитонов в НУШ независимы, а в КдФ связаны между собой, а во-вторых, тем, что в НУШ локализованные решения — это солитоны огибающих, а в КдФ — истинные солитоны.

Солитонные решения обладают особым значением, поскольку при \nu > 0 стационарные решения нелинейного уравнения Шрёдингера неустойчивы и распадаются на множество солитонов. При заданном произвольном начальном распределении функции u(x, t) решение может быть найдено методом обратной задачи рассеяния.

Интегралы[править | править исходный текст]

Нелинейное уравнение Шрёдингера вполне интегрируемо и обладает неограниченным набором интегралов движения. Примерами могут служить следующие интегралы:

I_1 = \int|u|^2dx \,
I_2 = \int\frac{i}{2}\left(\overline{u}\frac{\partial u}{\partial x} - u\frac{\partial\overline{u}}{\partial x}\right)dx
I_3 = \int\left(\left|\frac{\partial u}{\partial x}\right|^2 + \kappa |u|^4\right)dx

где верхняя черта означает взятие комплексного сопряжения.

Литература[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Дж. Уизем Линейные и нелинейные волны. — Мир, 1977. — С. 574—578. — 622 с.