Необходимое и достаточное условия

Необходимое условие и достаточное условие — виды условий, логически связанных с некоторым суждением. Различие этих условий используется в логике и математике для обозначения видов связи суждений.

Необходимое условие

Необходимыми условиями истинности утверждения X называются условия P, без соблюдения которых X не может быть истинным. Обозначается это как X => P или X -> P.

Утверждение P является необходимым условием для утверждения X, когда из (истинности) X следует (истинность) P. То есть, если истинно X то истинно и P и если ложно X то ложно и P. Обратное не верно - из истинности P не следует истинность X однако если P ложно то ложно и X.

Для множества М, все элементы которого обладают свойствами S и T, утверждение X типа «объект принадлежит множеству M", необходимым будет утверждение P типа "элемент обладает свойством S". Однако из истинности утверждения P, что "элемент обладает свойством S», не следует истинность утверждения, что "элемент принадлежит множеству M", поскольку могут быть и другие множества, элементы которых обладают свойством S».

Необходимое условие P другими словами называется свойством элементов множества M.

Например для утверждения X: "Изделие из золота" необходимым условием будет утверждение P "изделие обладает блеском", обратное не верно: из того, что P "изделие обладает блеском", не следует X: "изделие из золота", но тем не менее, если ложно утверждение "изделие обладает блеском", то будет ложно и утверждение "изделие из золота" наряду со всеми другими утверждениями о принадлежности к множествам с блестящими элементами.

Достаточное условие

Достаточными называются такие условия R, при наличии (выполнении, соблюдении) которых утверждение X является истинным. Обозначается это как R =>X или R->X.

Утверждение R является достаточным для утверждения X, когда из (истинности) R следует (истинность) X, то есть если истинно R то истинно и X и если ложно R то ложно и X. Обратное не верно - из истинности X не следует истинность R однако если X ложно то ложно и R.

Для множества М, все элементы которого обладают свойствами S и T, утверждение X типа "объект принадлежит множеству M" достаточным будет утверждение R типа "некоторые элементы обладающие свойствами S и T обязательно обладают и свойством V". То есть из истинности утверждения "элемент обладает свойством V" следует истинность утверждения "элемент принадлежит множеству M". Однако из истинности утверждения X "объект принадлежит множеству M", не следует истинность утверждения, что "элемент обладает признаком V" поскольку не все элементы обладающие свойствами S и T обладают свойством V.

Для суждений X типа «объект принадлежит множеству M» такое суждение R называется признаком принадлежности классу M.

Например для утверждения X: "Изделие из золота" достаточным условием будет утверждение "изделие содержит в своем составе металл с атомным номером 79"

Необходимое и достаточное условие

Суждение K является необходимым и достаточным условием суждения X, когда K является как необходимым условием X, так и достаточным. В этом случае говорят ещё что K и X равносильны, или эквивалентны, и обозначают $K\Leftrightarrow X$ или $K\leftrightarrow X$.

Для суждений X типа «объект принадлежит классу M» такое суждение K называется критерием принадлежности классу M.

Пример

Суждение X: «Вася получает стипендию».
Необходимое условие P: «Вася — учащийся».
Достаточное условие Q: «Вася учится в вузе без троек».

Из того, что Вася — учащийся, ещё не следует, что он получает стипендию. Но это условие необходимо, то есть если Вася не учащийся, то он заведомо не получает стипендии.

Если же Вася учится в вузе без троек, то он заведомо получает стипендию. Тем не менее, студент Вася может получать стипендию (в виде пособия), если он учится с тройками, но, например, имеет хроническое заболевание.

В импликации A → B
A — это достаточное условие для B
B — это необходимое условие для A

См. также

• Импликация
• Тогда и только тогда

Ссылки

• Видео о необходимом и достаточном условиях