Необходимое и достаточное условия

Необходимое условие и достаточное условие — виды условий, логически связанных с некоторым суждением. Различие этих условий используется в логике и математике для обозначения видов связи суждений.

Необходимое условие

Если импликация $A\Rightarrow B$ является абсолютно истинным высказыванием, то истинность высказывания $B$ является необходимым условием для истинности высказывания $A$.

Необходимыми условиями истинности утверждения А называются условия, без соблюдения которых А не может быть истинным.

Суждение P является необходимым условием суждения X, когда из (истинности) X следует (истинность) P. То есть, если P ложно, то заведомо ложно и X.

Для суждений X типа «объект принадлежит классу M» такое суждение P называется свойством (элементов) M.

Достаточное условие

Если импликация $A\Rightarrow B$ является абсолютно истинным высказыванием, то истинность высказывания $A$ является достаточным условием для истинности высказывания $B$.

Достаточными называются такие условия, при наличии (выполнении, соблюдении) которых утверждение А является истинным.

Суждение P является достаточным условием суждения X, когда из (истинности) P следует (истинность) X, то есть в случае истинности P проверять X уже не требуется.

Для суждений X типа «объект принадлежит классу M» такое суждение P называется признаком принадлежности классу M.

Необходимое и достаточное условие

Суждение K является необходимым и достаточным условием суждения X, когда K является как необходимым условием X, так и достаточным. В этом случае говорят ещё что K и X равносильны, или эквивалентны, и обозначают $K\Leftrightarrow X$ или $K\leftrightarrow X$.

Это следует из тождественно истинной формулы, связывающей импликацию и операцию эквиваленции:

$(X\leftrightarrow Y)\leftrightarrow (X\Rightarrow Y)\land (Y\Rightarrow X)$

Для суждений X типа «объект принадлежит классу M» такое суждение K называется критерием принадлежности классу M.

Пример

Суждение X: «Вася получает стипендию».
Необходимое условие P: «Вася — учащийся».
Достаточное условие Q: «Вася учится в вузе без троек».

Из того, что Вася — учащийся, ещё не следует, что он получает стипендию. Но это условие необходимо, то есть если Вася не учащийся, то он заведомо не получает стипендии.

Если же Вася учится в вузе без троек, то он заведомо получает стипендию. Тем не менее, студент Вася может получать стипендию (в виде пособия), если он учится с тройками, но, например, имеет хроническое заболевание.

В импликации A → B
A — это достаточное условие для B
B — это необходимое условие для A

См. также

• Импликация
• Тогда и только тогда

Ссылки

• Видео о необходимом и достаточном условиях

Литература

• Эдельман С.Л. Математическая логика. — М.: Высшая школа, 1975. — 176 с.
• Гиндикин С.Г. Алгебра логики в задачах. — М.: Наука, 1972. — 288 с.