Необходимое условие сходимости рядов

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Необходимое условие сходимости ряда (Необходимый признак сходимости ряда):

Для сходимости ряда \sum a_k необходимо, чтобы последовательность \,(a_k) была бесконечно малой.

Доказательство[править | править вики-текст]

По условию последовательность \,(s_k), а следовательно, и её остаток \,(s_{k+1}) имеют общий конечный предел \,s, но \,(a_{k+1}) = \,(s_{k+1}) - \,(s_k) и поэтому \,(a_{k+1}) \xrightarrow \,s - s = 0, что равносильно бесконечной малости \,(a_k).

Замечание[править | править вики-текст]

Данный признак является только необходимым, но не достаточным, то есть из того, что  a_k =0 не следует, что ряд сходится.

Так, гармонический ряд  1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} + ... расходится, хотя Необходимое условие сходимости ряда для него выполняется.

Литература[править | править вики-текст]