Неподвижная точка

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Отображение с тремя неподвижными точками

Неподвижная точка в математике — точка, которую заданное отображение переводит в неё же, иными словами, решение уравнения .

К примеру, отображение имеет неподвижные точки и , поскольку и .

Неподвижные точки есть не у всякого отображения — скажем, отображение вещественной прямой в себя неподвижных точек не имеет.

Точки, возвращающиеся в себя после определённого числа итераций, то есть, решения уравнения

,

называются периодическими (в частности, неподвижные точки — это периодические точки периода ).

Притягивающие неподвижные точки[править | править код]

Шаги метода простой итерации с начальным значением . Пределом является число Дотти.

Неподвижная точка отображения  — притягивающая, если результат последовательного применения к любой точке , достаточно близкой к , будет стремиться к :

.

При этом обычно требуют, чтобы результат каждой итерации не покидал некоторой большей окрестности точки  — то есть, чтобы точка была асимптотически устойчива.

В частности, достаточным условием, чтобы точка была притягивающей, является условие .

Метод Ньютона[править | править код]

Одним из применений идеи притягивающей неподвижной точки является метод Ньютона: решение уравнения оказывается притягивающей неподвижной точкой некоторого отображения, и потому может быть найдено как предел очень быстро сходящейся последовательности чисел, полученных его повторным применением.

Наиболее известным примером применения этого метода является нахождение квадратного корня из числа как предела итераций отображения

.

См. также[править | править код]

Литература[править | править код]