Неравенство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Нера́венство в математике — соотношение, связывающее два числа или иных математических объекта с помощью одного из перечисленных ниже знаков[1].

Строгие неравенства
  • — означает, что меньше, чем
  • — означает, что больше, чем

Неравенства и равносильны. Говорят, что знаки и противоположны; например, выражение «знак неравенства сменился на противоположный» означает, что заменено на или наоборот.

Нестрогие неравенства
  • — означает, что меньше либо равно
  • — означает, что больше либо равно

Русскоязычная традиция начертания знаков и отличается от принятой за рубежом, где обычно используются знаки и .Про знаки и также говорят, что они противоположны.

Другие типы неравенств
  • — означает, что не равно .
  • — означает, что величина намного больше, чем
  • — означает, что величина намного меньше, чем

Далее в данной статье, если не оговорено иное, понятие неравенства относится к первым 4 типам.

В элементарной математике изучают числовые неравенства. В общей алгебре, анализе, геометрии рассматриваются неравенства также и между объектами нечисловой природы.

Связанные определения[править | править код]

Неравенства с одинаковыми знаками называются одноимёнными (иногда используется термин «одного смысла» или «одинакового смысла»).

Допускается двойное или даже многократное неравенство, объединяющее несколько неравенств в одно. Пример:

— это краткая запись пары неравенств: и

Числовые неравенства[править | править код]

Числовые неравенства содержат вещественные числа (для комплексных чисел сравнение на больше-меньше не определено) и могут содержать также символы неизвестных Числовые неравенства, содержащие неизвестные величины, подразделяются (аналогично уравнениям) на алгебраические и трансцендентные. Алгебраические неравенства, в свою очередь, подразделяются на неравенства первой степени, второй степени и так далее. Например, неравенство — алгебраическое первой степени, неравенство — алгебраическое третьей степени, неравенство — трансцендентное[2].

Свойства[править | править код]

Свойства числовых неравенств в некоторых отношениях близки к свойствам уравнений[1]:

  • К обеим частям неравенства можно прибавить одно и то же число.
  • От обеих частей неравенства можно отнять одно и то же число. Следствие: как и для уравнений, любой член неравенства можно перенести в другую часть с противоположным знаком. Например, из следует, что
  • Обе части неравенства можно умножить на одно и то же положительное число.
  • Одноимённые неравенства можно складывать: если, например, и то Неравенства с противоположными знаками можно аналогично почленно вычитать.
  • Если все четыре части двух неравенств положительны, то неравенства можно перемножить.
  • Если обе части неравенства положительны, то их можно возвести в одну и ту же (натуральную) степень, а также логарифмировать с любым основанием (если основание логарифма меньше 1, то знак неравенства надо изменить на противоположный).
Другие свойства
  • (Транзитивность) Если и то и аналогично для прочих знаков.
  • Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный: больше на меньше, больше или равно на меньше или равно и т. д.

Решение неравенств[править | править код]

Если неравенство содержит символы неизвестных, то решение его означает выяснение вопроса, при какимх значениях неизвестных неравенство выполняется. Примеры:

выполняется при
выполняется, если либо либо
не выполняется никогда (решений нет).
выполняется при всех (тождество).

Внимание: если возвести в чётную степень неравенство, содержащее неизвестные, могут появиться «лишние» решения. Пример: если неравенство возвести в квадрат: то появится ошибочное решение не удовлетворяющее исходному неравенству. Поэтому все полученные таким образом решения следует проверить подстановкой в исходное неравенство.

Неравенства первой степени[править | править код]

Неравенство первой степени имеет общий формат: или где (работа со знаками и аналогична). Чтобы его решить, разделите неравенство на и, если измените знак неравенства на противоположный[3]. Пример:

Приведём подобные члены: или

Системы неравенств первой степени[править | править код]

Если одно и то же неизвестное входит более чем в одно неравенство, надо решить каждое неравенство в отдельности и затем сопоставить эти решения, которые должны выполняться все вместе.

Пример 1. Из системы получаем два решения: для первого неравенства для второго: Соединяя их, получаем ответ:

Пример 2. Решения: и Второе решение поглощает первое, так что ответ:

Пример 3. Решения: и они несовместимы, поэтому исходная система не имеет решений.

Неравенства второй степени[править | править код]

Общий вид неравенства второй степени (называемого также квадратным неравенством):

или

Если квадратное уравнение имеет вещественные корни то неравенство можно привести к виду соответственно:

или

В первом случае и должны иметь одинаковые знаки, во втором — разные. Для окончательного ответа надо применить следующее простое правило[4].

Квадратный трёхчлен с разными вещественными корнями отрицателен в интервале между корнями и положителен вне этого интервала.

Если оказалось, что у уравнения вещественных корней нет, то его левая часть сохраняет один и тот же знак при всех Поэтому исходное неравенство второй степени либо является тождеством, либо не имеет решений (см. ниже примеры[5]).

Пример 1. Разделив на приведём неравенство к виду: Решив квадратное уравнение получаем корни поэтому исходное неравенство равносильно такому: Согласно приведенному выше правилу, что и является ответом.

Пример 2. Аналогично получаем, что и имеют одинаковые знаки, то есть, согласно правилу, либо либо

Пример 3. Уравнение не имеет вещественных корней, поэтому левая часть его сохраняет знак при всех При левая часть положительна, поэтому исходное неравенство есть тождество (верно при всех ).

Пример 4. Как и в предыдущем примере, здесь левая часть всегда положительна, поэтому неравенство не имеет решений.

Аналогично, разложением на множители, можно решать неравенства высших степеней. Другой способ - построить график левой части и определить, какие знаки она имеет в различных интервалах[6].

Некоторые известные неравенства[править | править код]

Ниже приведены практически полезные неравенства, тождественно выполняющиеся, если неизвестные попадают в указанные границы[7].

где натуральное число.
См. следствия этого неравенства в статье Абсолютная величина.

Знаки неравенства в языках программирования[править | править код]

Символ «не равно» в разных языках программирования изображается по-разному.

Символ Языки
 != C, Java, PHP, Python
<> Basic, Pascal
~= Lua
/= Haskell, Fortran, Ada
# Modula-2, Oberon

Коды знаков неравенств[править | править код]

Символ Изображение Юникод Русское название HTML LaTeX
Код Название Шестнадцатеричное Десятеричное Мнемоника
< U+003C Less-than sign Меньше &#x3C; &#60; &lt; <, \textless
> U+003E Greater-than sign Больше &#x3E; &#62; &gt; >, \textgreater
U+2A7D Less-than or slanted equal to Меньше либо равно &#x2A7D; &#10877; отсутствует \leqslant
U+2A7E Greater-than or slanted equal to Больше либо равно &#x2A7E; &#10878; отсутствует \geqslant
U+2264 Less-than or equal to Меньше либо равно &#x2264; &#8804; &le; \le, \leq
U+2265 Greater-than or equal to Больше либо равно &#x2265; &#8805; &ge; \ge, \geq
U+226A Much less-than Много меньше &#x226A; &#8810; \ll
U+226B Much greater-than Много больше &#x226B; &#8811; \gg

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]