Неравенство Бернулли

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Нера́венство Берну́лли утверждает: если , то

для всех

Доказательство[править | править вики-текст]

Доказательство неравенства проводится методом математической индукции по n. При n = 1 неравенство, очевидно, верно. Допустим, что оно верно для n, докажем его верность для n+1:

,

ч.т.д.

Обобщенное неравенство Бернулли[править | править вики-текст]

Обобщенное неравенство Бернулли утверждает, что при и :

  • если , то
  • если , то
  • при этом равенство достигается в двух случаях:

Примечания[править | править вики-текст]

  • Неравенство также справедливо для (при ). Доказательство для случая можно провести так же методом математической индукции.

Так как при , то