Неравенство Гёльдера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Нера́венство Гёльдера в функциональном анализе и смежных дисциплинах — это фундаментальное свойство пространств .

Формулировка[править | править вики-текст]

Пусть  — пространство с мерой, а  — пространство функций вида с конечной интегрируемой ‑ой степенью. Тогда в последнем определена полунорма:

,

где , обычно подразумевается, что это натуральное число.

Пусть , а , где . Тогда , и

.

Доказательство[править | править вики-текст]

Переформулируем неравенство Гёльдера, выразив нормы через соответствующие интегралы.
Пусть  — пространство с мерой , , измеримо. Тогда:

Для доказательства воспользуемся следующим утверждением (неравенство Юнга):

Положим

Применяя неравенство, получаем:

Заметим, что правая часть неравенства суммируема по множеству (отсюда вытекает и суммируемость левой части). Интегрируя неравенство по , получаем:

Неравенство Гельдера доказано.
Примечание: Если или равен 0, то это значит, что или эквивалентны нулю на , и неравенство Гёльдера очевидно выполняется.

Частные случаи[править | править вики-текст]

Неравенство Коши — Буняковского[править | править вики-текст]

Положив , получаем неравенство Коши — Буняковского для пространства .

Евклидово пространство[править | править вики-текст]

Рассмотрим Евклидово пространство или . -норма в этом пространстве имеет вид:

,

и тогда

.

Пространство lp[править | править вики-текст]

Пусть  — счётная мера на . Тогда множество всех последовательностей , таких что:

,

называется . Неравенство Гёльдера для этого пространства имеет вид:

.

Вероятностное пространство[править | править вики-текст]

Пусть  — вероятностное пространство. Тогда состоит из случайных величин с конечным моментом: , где символ обозначает математическое ожидание. Неравенство Гёльдера в этом случае имеет вид:

.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. — 3-е изд., переработанное и дополненное. — М: Наука, 1988. — 336 с. — ISBN 5-02-013756-1.
  • Вулих Б.З. Краткий курс теории функции вещественной переменной. — 2-е изд., переработанное и дополненное. — М: Наука, 1973. — 352 с.