Неравенство Колмогорова

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Неравенство Колмогорова — обобщение теоретико-вероятностного варианта неравенства Чебышёва, ограничивающее вероятность того, что частичная сумма конечной совокупности независимых случайных величин не превышает некоторого фиксированного числа. Установлено Андреем Колмогоровым в середине 1920-х годов и применено им для доказательства усиленного закона больших чисел.

Формулировка[1]: для определённых на общем вероятностном пространстве (\Omega,\ F,\  Pr) независимых случайных величин X_1, \dots, X_n\ :\Omega\to R с математическими ожиданиями M X_i = 0, i \leqslant n и дисперсиями Var[X_i]<+\infty и произвольной величины \lambda>0 выполнено:

\Pr \left(\max_{1\leqslant k\leqslant n} | S_k |\geqslant \lambda\right)\leqslant \frac{1}{\lambda^2} \operatorname{Var} [S_n] \equiv \frac{1}{\lambda^2}\sum_{k=1}^n \operatorname{Var}[X_i] (1)

гдe S_k=X_1+\dots+X_k.

Если к тому же  \Pr (|X_i| \leqslant  c) = 1, i \leqslant n , то

\Pr \left(\max_{1\leqslant k\leqslant n} | S_k |\geqslant \lambda\right)\geqslant 1- \frac{(\lambda+c)^2}{ \operatorname{Var} [S_n]} (2)

Доказательство[править | править вики-текст]

Обозначим

A = \{ \max|S_k|  \geqslant \lambda \}
A_k = \{ |S_i| < \lambda, i = 1, . . . , k -1, |S_k| \geqslant \lambda \}, 1\leqslant k \leqslant n

Тогда A = \sum A_k и

 M S_n^2  \geqslant M S_n^2 I_A = \sum{ M S_n^2  I_{A_k}} (Где Iиндикатор)

Но

 M S_n^2  I_{A_k} = M \left( S_k +\left(X_{k+1}+ . . . +X_n \right)  \right)^2  I_{A_k} =
 =  M S_k^2  I_{A_k} + 2M S_k\left(X_{k+1}+ . . . +X_n \right)  I_{A_k} +M\left(X_{k+1}+ . . . +X_n \right)^2  I_{A_k} \geqslant M S_k^2 I_{A_k},

поскольку M S_k\left(X_{k+1}+ . . . +X_n \right)  I_{A_k} = M S_k  I_{A_k} M\left(X_{k+1}+ . . . +X_n \right) = 0 в силу предположенной независимости и условий M X_i = 0, i  \leqslant n Поэтому

Var[X_i] = M S_n^2 \geqslant \sum M S_n^2 I_{A_k} \geqslant \lambda^2 \sum \Pr (A_k) =  \lambda^2 Pr(A)

что и доказывает неравенство 1. Для доказательства неравенства 2 заметим, что

M S_n^2  I_{A} =  M S_n^2 - M S_n^2  I_{\bar{A}}  \geqslant  M S_n^2 - \lambda^2 Pr(\bar{A})  = M S_n^2 - \lambda^2 = M S_n^2 - \lambda^2 + \lambda^2 Pr(A) (3)

С другой стороны, на множестве A_k

|S_{k-1}| \leqslant \lambda, |S_k| \leqslant  |S_{k-1}| +  |X_k| \leqslant \lambda + c

и, значит,

 M S_n^2 I_{A} = \sum_k M S_k^2 I_{A_k} + \sum_k M (I_{A_k}(S_n - S_k)^2 ) \leqslant (\lambda+c)^2 \sum_k Pr (A_k) + \sum_{k=1}^n Pr (A_k) \sum_{j = k+1}^n M X_j^2 \leqslant

\leqslant \Pr (A) \left [ (\lambda+c)^2 + \sum_{j = 1}^n M X_j^2 \right] = Pr (A) \left [ (\lambda+c)^2 + M S_n^2 \right ] (4)

Из (3) и (4) находим, что:

Pr(A) \geqslant \frac{MS_n^2 + \lambda^2}{(\lambda+c)^2 + MS_n^2- \lambda^2} = 1 - \frac{(\lambda+c)^2}{(\lambda+c)^2 + MS_n^2 - \lambda^2}\geqslant  1 - \frac{(\lambda+c)^2}{MS_n^2}=1 - \frac{(\lambda+c)^2}{\operatorname{Var} [S_n]}

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Billingsley Patrick. Probability and Measure. — New York: John Wiley & Sons, Inc., 1995. — ISBN 0-471-00710-2. (Theorem 22.4)
  • Feller William. An Introduction to Probability Theory and its Applications, Vol 1. — Third Edition. — New York: John Wiley & Sons, Inc., 1968. — P. xviii+509. — ISBN 0-471-25708-7.
  • Хеннекен П. Л., Тортра А. Теория вероятностей и некоторые её приложения. — М.: Наука, 1974. — 472 с.
  • Ширяев А. Н. Вероятность. — 3-е изд., перераб. и доп.. — М.: МЦНМО, 2004. (Глава 4 § 2 раздел 1)