Неравенство Колмогорова

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Неравенство Колмогорова — обобщение теоретико-вероятностного варианта неравенства Чебышёва, ограничивающее вероятность того, что частичная сумма конечной совокупности независимых случайных величин не превышает некоторого фиксированного числа. Установлено Андреем Колмогоровым в середине 1920-х годов и применено им для доказательства усиленного закона больших чисел.

Формулировка[1]: для определённых на общем вероятностном пространстве (\Omega,\ F,\  Pr) независимых случайных величин X_1, \dots, X_n\ :\Omega\to R с математическими ожиданиями E[X_k]=0 и дисперсиями Var[X_k]<+\infty и произвольной величины \lambda>0 выполнено:

\Pr \left(\max_{1\leqslant k\leqslant n} | S_k |\geqslant \lambda\right)\leqslant \frac{1}{\lambda^2} \operatorname{Var} [S_n] \equiv \frac{1}{\lambda^2}\sum_{k=1}^n \operatorname{Var}[X_k],

гдe S_k=X_1+\dots+X_k.

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Billingsley Patrick. Probability and Measure. — New York: John Wiley & Sons, Inc., 1995. — ISBN 0-471-00710-2. (Theorem 22.4)
  • Feller William. An Introduction to Probability Theory and its Applications, Vol 1. — Third Edition. — New York: John Wiley & Sons, Inc., 1968. — P. xviii+509. — ISBN 0-471-25708-7.
  • Хеннекен П. Л., Тортра А. Теория вероятностей и некоторые её приложения. — М.: Наука, 1974. — 472 с.