Неравенство Колмогорова

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Неравенство Колмогорова — обобщение теоретико-вероятностного варианта неравенства Чебышёва, ограничивающее вероятность того, что частичная сумма конечной совокупности независимых случайных величин не превышает некоторого фиксированного числа. Установлено Андреем Колмогоровым в середине 1920-х годов и применено им для доказательства усиленного закона больших чисел.

Формулировка[1]: для определённых на общем вероятностном пространстве независимых случайных величин с математическими ожиданиями и дисперсиями и произвольной величины выполнено:

(1)

гдe .

Если к тому же , то

(2)

Доказательство[править | править вики-текст]

Обозначим

Тогда и

(Где индикатор)

Но

поскольку в силу предположенной независимости и условий Поэтому

что и доказывает неравенство 1. Для доказательства неравенства 2 заметим, что

(3)

С другой стороны, на множестве

и, значит,

(4)

Из (3) и (4) находим, что:

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Billingsley Patrick. Probability and Measure. — New York: John Wiley & Sons, Inc., 1995. — ISBN 0-471-00710-2. (Theorem 22.4)
  • Feller William. An Introduction to Probability Theory and its Applications, Vol 1. — Third Edition. — New York: John Wiley & Sons, Inc., 1968. — P. xviii+509. — ISBN 0-471-25708-7.
  • Хеннекен П. Л., Тортра А. Теория вероятностей и некоторые её приложения. — М.: Наука, 1974. — 472 с.
  • Ширяев А. Н. Вероятность. — 3-е изд., перераб. и доп.. — М.: МЦНМО, 2004. (Глава 4 § 2 раздел 1)