Неравенство Коши — Буняковского

Неравенство Коши́ — Буняко́вского связывает норму и скалярное произведение векторов в евклидовом или гильбертовом пространстве. Это неравенство эквивалентно неравенству треугольника для нормы.

Неравенство Коши — Буняковского иногда, особенно в иностранной литературе, называют неравенством Шварца и неравенством Коши — Буняковского — Шварца («неравенство КБШ»), хотя работы Шварца на эту тему появились только спустя 25 лет после работ Буняковского. Конечномерный случай этого неравенства называется неравенством Коши и был доказан Коши в 1821 году.

Формулировка

Пусть дано линейное пространство $L$ со скалярным произведением $\langle x,\;y\rangle$. Пусть $\|x\|$ — норма, порождённая скалярным произведением, то есть $\|x\|\equiv {\sqrt {\langle x,\;x\rangle }},\;\forall x\in L$. Тогда для любых $x,\;y\in L$ имеем:

$|\langle x,\;y\rangle |\leqslant \|x\|\cdot \|y\|,$

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы $x$ и $y$ пропорциональны (коллинеарны).

Комментарии

В конечномерном случае можно заметить, что $\|x\|^{2}\|y\|^{2}-\langle x,\;y\rangle ^{2}=S(x,\;y)^{2}$, где $S(x,\;y)$ — площадь параллелограмма, натянутого на векторы $x$ и $y$.

В общем случае:

$\|x\|^{2}-{\frac {\langle x,\;y\rangle ^{2}}{\|y\|^{2}}}=\left\|x-{\frac {\langle x,\;y\rangle }{\|y\|^{2}}}y\right\|^{2}.$

Примеры

• Важным частным случаем, часто использующимся в теории чисел, является случай, когда один из векторов полностью состоит из единиц:

$\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{a_{i}}}\right)^{2}\leq \left({\sum \limits _{i=1}^{n}{1}}\right)\sum \limits _{i=1}^{n}{{a_{i}}^{2}}=n\sum \limits _{i=1}^{n}{{a_{i}}^{2}}$

• В пространстве комплекснозначных квадратично суммируемых последовательностей $l^{2}$ неравенство Коши — Буняковского имеет вид:

$\left|\sum \limits _{k=1}^{\infty }x_{k}{\bar {y}}_{k}\right|^{2}\leqslant \left(\sum _{k=1}^{\infty }|x_{k}|^{2}\right)\cdot \left(\sum _{k=1}^{\infty }|y_{k}|^{2}\right),$

где ${\bar {y}}_{k}$ обозначает комплексное сопряжение $y_{k}$.

• В пространстве комплексных квадратично интегрируемых функций $L^{2}(X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )$ неравенство Коши — Буняковского имеет вид:

$\left|\int \limits _{X}f(x){\overline {g(x)}}\,\mu (dx)\right|^{2}\leqslant \left(\int \limits _{X}\left|f(x)\right|^{2}\,\mu (dx)\right)\cdot \left(\int \limits _{X}\left|g(x)\right|^{2}\,\mu (dx)\right).$

• В пространстве случайных величин с конечным вторым моментом $L^{2}(\Omega ,\;{\mathcal {F}},\;\mathbb {P} )$ неравенство Коши — Буняковского имеет вид:

  $\mathrm {cov} ^{2}(X,\;Y)\leqslant \mathrm {D} [X]\cdot \mathrm {D} [Y],$

где $\mathrm {cov}$ обозначает ковариацию, а $\mathrm {D}$ — дисперсию.

• Для двух независимых случайных величин $\xi$ и $\eta$ неравенство Коши — Буняковского имеет вид:

  $\mathbf {M} \left[\eta \cdot \xi \right]^{2}\leqslant \mathbf {M} \left[\eta ^{2}\cdot \xi ^{2}\right]=\mathbf {M} \eta ^{2}\cdot \mathbf {M} \xi ^{2}.$

Доказательство

• Если $\langle x,y\rangle \in \mathbb {R} ,$ то $\forall \lambda \in \mathbb {R}$ верно следующее

$0\leqslant \langle \lambda x+y,\;\lambda x+y\rangle =\lambda ^{2}\langle x,\;x\rangle +2\lambda \langle x,\;y\rangle +\langle y,\;y\rangle .$

Значит, дискриминант многочлена $\lambda ^{2}\langle x,\;x\rangle +2\lambda \langle x,\;y\rangle +\langle y,\;y\rangle$ неположительный, то есть

$D=4(\langle x,\;y\rangle )^{2}-4\langle x,\;x\rangle \langle y,\;y\rangle \leqslant 0.$

Следовательно,

$|\langle x,\;y\rangle |\leqslant \|x\|\cdot \|y\|.$

• Если $\operatorname {Im} \langle x,y\rangle \neq 0,$ то представим скалярное произведение в тригонометрическом виде $\langle x,y\rangle =re^{i\phi }.$

Определим вектор $z=e^{-i\phi }x.$ Тогда

$\langle z,y\rangle =e^{-i\phi }\langle x,y\rangle =r=\left|\langle x,y\rangle \right|\in \mathbb {R}$ и

$\langle z,z\rangle =e^{-i\phi }\langle x,e^{-i\phi }x\rangle =e^{-i\phi }e^{i\phi }\langle x,x\rangle =\langle x,x\rangle .$

К скалярному произведению $\langle z,y\rangle \in \mathbb {R}$ применим результат первого пункта доказательства.

$\left|\langle x,y\rangle \right|=r=\langle z,y\rangle \leqslant \|z\|\cdot \|y\|=\|x\|\cdot \|y\|.$