Неравенство Коши — Буняковского

Неравенство Коши́ — Буняко́вского связывает норму и скалярное произведение векторов в евклидовом или гильбертовом пространстве. Это неравенство эквивалентно неравенству треугольника для нормы.

Неравенство Коши — Буняковского иногда, особенно в иностранной литературе, называют неравенством Шварца и неравенством Коши — Буняковского — Шварца («неравенство КБШ»), хотя работы Шварца на эту тему появились только спустя 25 лет после работ Буняковского. Конечномерный случай этого неравенства называется неравенством Коши и был доказан Коши в 1821 году.

Формулировка

Пусть дано линейное пространство $L$$L$ со скалярным произведением $\langle x,\;y\rangle$$\langle x,\;y\rangle$. Пусть $\|x\|$$\|x\|$ — норма, порождённая скалярным произведением, то есть $\|x\|\equiv {\sqrt {\langle x,\;x\rangle }},\;\forall x\in L$$\|x\|\equiv\sqrt{\langle x,\;x\rangle},\;\forall x\in L$. Тогда для любых $x,\;y\in L$$x,\;y\in L$ имеем:

$|\langle x,\;y\rangle |\leqslant \|x\|\cdot \|y\|,$$|\langle x,\;y\rangle| \leqslant \|x\|\cdot\|y\|,$

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы $x$$x$ и $y$$y$ пропорциональны (коллинеарны).

Комментарии

В конечномерном случае можно заметить, что $\|x\|^{2}\|y\|^{2}-\langle x,\;y\rangle ^{2}=S(x,\;y)^{2}$$\|x\|^2\|y\|^2-\langle x,\;y\rangle^2=S(x,\;y)^2$, где $S(x,\;y)$$S(x,\;y)$ — площадь параллелограмма, натянутого на векторы $x$$x$ и $y$$y$.

В общем случае:

$\|x\|^{2}-{\frac {\langle x,\;y\rangle ^{2}}{\|y\|^{2}}}=\left\|x-{\frac {\langle x,\;y\rangle }{\|y\|^{2}}}y\right\|^{2}.$$\|x\|^2-\frac{\langle x,\;y\rangle^2}{\|y\|^2}=\left\|x-\frac{\langle x,\;y\rangle}{\|y\|^2}y\right\|^2.$

Примеры

• В пространстве комплекснозначных квадратично суммируемых последовательностей $l^{2}$$l^2$ неравенство Коши — Буняковского имеет вид:

$\left|\sum \limits _{k=1}^{\infty }x_{k}{\bar {y}}_{k}\right|^{2}\leqslant \left(\sum _{k=1}^{\infty }|x_{k}|^{2}\right)\cdot \left(\sum _{k=1}^{\infty }|y_{k}|^{2}\right),$$\left|\sum\limits_{k=1}^\infty x_k\bar{y}_k\right|^2\leqslant\left(\sum_{k=1}^\infty|x_k|^2\right)\cdot\left(\sum_{k=1}^\infty|y_k|^2\right),$

где ${\bar {y}}_{k}$$\bar{y}_k$ обозначает комплексное сопряжение $y_{k}$$y_{k}$.

• В пространстве комплексных квадратично интегрируемых функций $L^{2}(X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )$$L^2(X,\;\mathcal{F},\;\mu)$ неравенство Коши — Буняковского имеет вид:

$\left|\int \limits _{X}f(x){\overline {g(x)}}\,\mu (dx)\right|^{2}\leqslant \left(\int \limits _{X}\left|f(x)\right|^{2}\,\mu (dx)\right)\cdot \left(\int \limits _{X}\left|g(x)\right|^{2}\,\mu (dx)\right).$$\left|\int\limits_X f(x)\overline{g(x)}\,\mu(dx)\right|^2\leqslant\left(\int\limits_X\left|f(x)\right|^2\,\mu(dx)\right)\cdot\left(\int\limits_X\left|g(x)\right|^2\,\mu(dx)\right).$

• В пространстве случайных величин с конечным вторым моментом $L^{2}(\Omega ,\;{\mathcal {F}},\;\mathbb {P} )$$L^2(\Omega,\;\mathcal{F},\;\mathbb{P})$ неравенство Коши — Буняковского имеет вид:

  $\mathrm {cov} ^{2}(X,\;Y)\leqslant \mathrm {D} [X]\cdot \mathrm {D} [Y],$$\mathrm{cov}^2(X,\;Y)\leqslant\mathrm{D}[X]\cdot\mathrm{D}[Y],$

где $\mathrm {cov}$$\mathrm{cov}$ обозначает ковариацию, а $\mathrm {D}$$\mathrm{D}$ — дисперсию.

Доказательство

• Если $\langle x,y\rangle \in \mathbb {R} ,$$\langle x,y \rangle \in \R ,$ то $\forall \lambda \in \mathbb {R}$$\forall \lambda \in \R$ верно следующее

$0\leqslant \langle \lambda x+y,\;\lambda x+y\rangle =\lambda ^{2}\langle x,\;x\rangle +2\lambda \langle x,\;y\rangle +\langle y,\;y\rangle .$$0\leqslant\langle\lambda x+y,\;\lambda x+y\rangle=\lambda^2\langle x,\;x\rangle+2\lambda\langle x,\;y\rangle+\langle y,\;y\rangle.$

Значит, дискриминант многочлена $\lambda ^{2}\langle x,\;x\rangle +2\lambda \langle x,\;y\rangle +\langle y,\;y\rangle$$\lambda^2\langle x,\;x\rangle+2\lambda\langle x,\;y\rangle+\langle y,\;y\rangle$ неположительный, то есть

$D=4(\langle x,\;y\rangle )^{2}-4\langle x,\;x\rangle \langle y,\;y\rangle \leqslant 0.$$D=4(\langle x,\;y\rangle )^{2}-4\langle x,\;x\rangle \langle y,\;y\rangle \leqslant 0.$

Следовательно,

$|\langle x,\;y\rangle |\leqslant \|x\|\cdot \|y\|.$$|\langle x,\;y\rangle|\leqslant\|x\|\cdot\|y\|.$

• Если $Im\langle x,y\rangle \neq 0,$$Im \langle x,y \rangle \ne 0,$ то представим скалярное произведение в тригонометрическом виде $\langle x,y\rangle =re^{i\phi }.$$\langle x,y \rangle = re^{i\phi}.$

Определим вектор $z=e^{-i\phi }x.$$z=e^{-i\phi}x.$ Тогда

$\langle z,y\rangle =e^{-i\phi }\langle x,y\rangle =r=\left|\langle x,y\rangle \right|\in \mathbb {R}$$\langle z,y \rangle = e^{-i\phi}\langle x,y \rangle = r = \left | \langle x,y \rangle \right | \in \R$ и

$\langle z,z\rangle =e^{-i\phi }\langle x,e^{-i\phi }x\rangle =e^{-i\phi }e^{i\phi }\langle x,x\rangle =\langle x,x\rangle$$\langle z,z \rangle = e^{-i\phi}\langle x,e^{-i\phi}x \rangle=e^{-i\phi}e^{i\phi}\langle x,x \rangle = \langle x,x \rangle$

К скалярному произведению $\langle z,y\rangle \in \mathbb {R}$$\langle z,y \rangle \in \R$ применим результат первого пункта доказательства.

$\left|\langle x,y\rangle \right|=r=\langle z,y\rangle \leqslant \|z\|\cdot \|y\|=\|x\|\cdot \|y\|$$\left | \langle x,y \rangle \right |=r=\langle z,y\rangle \leqslant \|z\|\cdot\|y\|=\|x\|\cdot\|y\|$