Текущая версия страницы пока
не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от
версии , проверенной 14 февраля 2020; проверки требует
1 правка .
Текущая версия страницы пока
не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от
версии , проверенной 14 февраля 2020; проверки требует
1 правка .
Неравенство Коши́ — Буняко́вского связывает норму и скалярное произведение векторов в евклидовом или гильбертовом пространстве .
Это неравенство эквивалентно неравенству треугольника для нормы.
Неравенство Коши — Буняковского иногда, особенно в иностранной литературе, называют неравенством Шварца и неравенством Коши — Буняковского — Шварца , хотя работы Шварца на эту тему появились только спустя 25 лет после работ Буняковского [1] .
Конечномерный случай этого неравенства называется неравенством Коши и был доказан Коши в 1821 году .
Пусть дано линейное пространство
L
{\displaystyle L}
со скалярным произведением
⟨
x
,
y
⟩
{\displaystyle \langle x,\;y\rangle }
. Пусть
‖
x
‖
{\displaystyle \|x\|}
— норма, порождённая скалярным произведением, то есть
‖
x
‖
≡
⟨
x
,
x
⟩
,
∀
x
∈
L
{\displaystyle \|x\|\equiv {\sqrt {\langle x,\;x\rangle }},\;\forall x\in L}
. Тогда для любых
x
,
y
∈
L
{\displaystyle x,\;y\in L}
имеем:
|
⟨
x
,
y
⟩
|
⩽
‖
x
‖
⋅
‖
y
‖
,
{\displaystyle |\langle x,\;y\rangle |\leqslant \|x\|\cdot \|y\|,}
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы
x
{\displaystyle x}
и
y
{\displaystyle y}
линейно зависимы (коллинеарны , или среди них есть нулевой).
В конечномерном случае можно заметить, что
‖
x
‖
2
‖
y
‖
2
−
⟨
x
,
y
⟩
2
=
S
(
x
,
y
)
2
{\displaystyle \|x\|^{2}\|y\|^{2}-\langle x,\;y\rangle ^{2}=S(x,\;y)^{2}}
, где
S
(
x
,
y
)
{\displaystyle S(x,\;y)}
— площадь параллелограмма, натянутого на векторы
x
{\displaystyle x}
и
y
{\displaystyle y}
.
В общем случае:
‖
x
‖
2
−
⟨
x
,
y
⟩
2
‖
y
‖
2
=
‖
x
−
⟨
x
,
y
⟩
‖
y
‖
2
y
‖
2
.
{\displaystyle \|x\|^{2}-{\frac {\langle x,\;y\rangle ^{2}}{\|y\|^{2}}}=\left\|x-{\frac {\langle x,\;y\rangle }{\|y\|^{2}}}y\right\|^{2}.}
Важным частным случаем, часто использующимся в теории чисел, является случай, когда один из векторов полностью состоит из единиц:
(
∑
i
=
1
n
a
i
)
2
≤
(
∑
i
=
1
n
1
)
∑
i
=
1
n
a
i
2
=
n
∑
i
=
1
n
a
i
2
{\displaystyle \left({\sum \limits _{i=1}^{n}{a_{i}}}\right)^{2}\leq \left({\sum \limits _{i=1}^{n}{1}}\right)\sum \limits _{i=1}^{n}{{a_{i}}^{2}}=n\sum \limits _{i=1}^{n}{{a_{i}}^{2}}}
|
∑
k
=
1
∞
x
k
y
¯
k
|
2
⩽
(
∑
k
=
1
∞
|
x
k
|
2
)
⋅
(
∑
k
=
1
∞
|
y
k
|
2
)
,
{\displaystyle \left|\sum \limits _{k=1}^{\infty }x_{k}{\bar {y}}_{k}\right|^{2}\leqslant \left(\sum _{k=1}^{\infty }|x_{k}|^{2}\right)\cdot \left(\sum _{k=1}^{\infty }|y_{k}|^{2}\right),}
где
y
¯
k
{\displaystyle {\bar {y}}_{k}}
обозначает комплексное сопряжение
y
k
{\displaystyle y_{k}}
.
В пространстве комплексных квадратично интегрируемых функций
L
2
(
X
,
F
,
μ
)
{\displaystyle L^{2}(X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )}
неравенство Коши — Буняковского имеет вид:
|
∫
X
f
(
x
)
g
(
x
)
¯
μ
(
d
x
)
|
2
⩽
(
∫
X
|
f
(
x
)
|
2
μ
(
d
x
)
)
⋅
(
∫
X
|
g
(
x
)
|
2
μ
(
d
x
)
)
.
{\displaystyle \left|\int \limits _{X}f(x){\overline {g(x)}}\,\mu (dx)\right|^{2}\leqslant \left(\int \limits _{X}\left|f(x)\right|^{2}\,\mu (dx)\right)\cdot \left(\int \limits _{X}\left|g(x)\right|^{2}\,\mu (dx)\right).}
В пространстве случайных величин с конечным вторым моментом
L
2
(
Ω
,
F
,
P
)
{\displaystyle L^{2}(\Omega ,\;{\mathcal {F}},\;\mathbb {P} )}
неравенство Коши — Буняковского имеет вид:
c
o
v
2
(
X
,
Y
)
⩽
D
[
X
]
⋅
D
[
Y
]
,
{\displaystyle \mathrm {cov} ^{2}(X,\;Y)\leqslant \mathrm {D} [X]\cdot \mathrm {D} [Y],}
где
c
o
v
{\displaystyle \mathrm {cov} }
обозначает ковариацию , а
D
{\displaystyle \mathrm {D} }
— дисперсию .
Для двух независимых случайных величин
ξ
{\displaystyle \xi }
и
η
{\displaystyle \eta }
неравенство Коши — Буняковского имеет вид:
[
M
(
η
⋅
ξ
)
]
2
⩽
M
[
η
2
⋅
ξ
2
]
=
M
η
2
⋅
M
ξ
2
.
{\displaystyle \left[\mathbf {M} (\eta \cdot \xi )\right]^{2}\leqslant \mathbf {M} \left[\eta ^{2}\cdot \xi ^{2}\right]=\mathbf {M} \eta ^{2}\cdot \mathbf {M} \xi ^{2}.}
Если
⟨
x
,
y
⟩
∈
R
,
{\displaystyle \langle x,y\rangle \in \mathbb {R} ,}
то
∀
λ
∈
R
{\displaystyle \forall \lambda \in \mathbb {R} }
верно следующее
0
⩽
⟨
λ
x
+
y
,
λ
x
+
y
⟩
=
λ
2
⟨
x
,
x
⟩
+
2
λ
⟨
x
,
y
⟩
+
⟨
y
,
y
⟩
.
{\displaystyle 0\leqslant \langle \lambda x+y,\;\lambda x+y\rangle =\lambda ^{2}\langle x,\;x\rangle +2\lambda \langle x,\;y\rangle +\langle y,\;y\rangle .}
Значит, дискриминант многочлена
λ
2
⟨
x
,
x
⟩
+
2
λ
⟨
x
,
y
⟩
+
⟨
y
,
y
⟩
{\displaystyle \lambda ^{2}\langle x,\;x\rangle +2\lambda \langle x,\;y\rangle +\langle y,\;y\rangle }
неположительный, то есть
D
=
4
(
⟨
x
,
y
⟩
)
2
−
4
⟨
x
,
x
⟩
⟨
y
,
y
⟩
⩽
0.
{\displaystyle D=4(\langle x,\;y\rangle )^{2}-4\langle x,\;x\rangle \langle y,\;y\rangle \leqslant 0.}
Следовательно,
|
⟨
x
,
y
⟩
|
⩽
‖
x
‖
⋅
‖
y
‖
.
{\displaystyle |\langle x,\;y\rangle |\leqslant \|x\|\cdot \|y\|.}
Если
⟨
x
,
y
⟩
{\displaystyle \langle x,y\rangle }
является комплексным числом с ненулевой мнимой частью, то представим скалярное произведение в тригонометрическом виде
⟨
x
,
y
⟩
=
r
e
i
ϕ
.
{\displaystyle \langle x,y\rangle =re^{i\phi }.}
Определим вектор
z
=
e
−
i
ϕ
x
.
{\displaystyle z=e^{-i\phi }x.}
Тогда
⟨
z
,
y
⟩
=
e
−
i
ϕ
⟨
x
,
y
⟩
=
r
=
|
⟨
x
,
y
⟩
|
∈
R
{\displaystyle \langle z,y\rangle =e^{-i\phi }\langle x,y\rangle =r=\left|\langle x,y\rangle \right|\in \mathbb {R} }
и
⟨
z
,
z
⟩
=
e
−
i
ϕ
⟨
x
,
e
−
i
ϕ
x
⟩
=
e
−
i
ϕ
e
i
ϕ
⟨
x
,
x
⟩
=
⟨
x
,
x
⟩
.
{\displaystyle \langle z,z\rangle =e^{-i\phi }\langle x,e^{-i\phi }x\rangle =e^{-i\phi }e^{i\phi }\langle x,x\rangle =\langle x,x\rangle .}
К скалярному произведению
⟨
z
,
y
⟩
∈
R
{\displaystyle \langle z,y\rangle \in \mathbb {R} }
применим результат первого пункта доказательства.
|
⟨
x
,
y
⟩
|
=
r
=
⟨
z
,
y
⟩
⩽
‖
z
‖
⋅
‖
y
‖
=
‖
x
‖
⋅
‖
y
‖
.
{\displaystyle \left|\langle x,y\rangle \right|=r=\langle z,y\rangle \leqslant \|z\|\cdot \|y\|=\|x\|\cdot \|y\|.}
↑ Bounjakowsky W. «Mémoires de l’Académie des sciences de St-Pétersbourg. 7 série», 1859, t. 1, № 9.