Неравенство Коши — Буняковского

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Неравенство Коши́ — Буняко́вского связывает норму и скалярное произведение векторов в евклидовом или гильбертовом пространстве. Это неравенство эквивалентно неравенству треугольника для нормы. Частный случай неравенства Гёльдера и неравенства Йенсена[1].

Неравенство Коши — Буняковского иногда, особенно в иностранной литературе, называют неравенством Шварца и неравенством Коши — Буняковского — Шварца, хотя работы Шварца на эту тему появились только спустя 25 лет после работ Буняковского[2]. Конечномерный случай этого неравенства называется неравенством Коши и был доказан Коши в 1821 году.

Формулировка[править | править код]

Пусть дано линейное пространство со скалярным произведением . Пусть  — норма, порождённая скалярным произведением, то есть . Тогда для любых имеем:

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы и линейно зависимы (коллинеарны, или среди них есть нулевой).

Примеры[править | править код]

  • Важным частным случаем, часто использующимся в теории чисел, является случай, когда один из векторов полностью состоит из единиц:

где обозначает комплексное сопряжение .

  • В пространстве случайных величин с конечным вторым моментом неравенство Коши — Буняковского имеет вид:
где обозначает ковариацию, а  — дисперсию.
  • Для двух независимых случайных величин и неравенство Коши — Буняковского имеет вид:

Способы доказательства[править | править код]

Существует лишь несколько сущностно различных подходов к доказательству неравенства. Однако, ввиду его универсальности, одни и те же приводящие к нему формальные операции можно описывать в разных терминах. Из-за этого некоторые авторы представляют неравенство как имеющее чрезвычайно много доказательств.[3]

Для удобства изложения в данном разделе, когда не указано иное, описываются доказательства только для пространства конечной размерности над , то есть для конечных последовательностей , .

Комбинаторный (через перестановочное неравенство)[править | править код]

Схема доказательства неравенства для одной последовательности через перестановочное неравенство.

Случай [править | править код]

Раскрывая квадрат и делая замену , квадрат суммы можно разбить на блоки следующим образом:

где обозначения соответствуют . Из перестановочного неравенства для двух копий последовательности и перестановок

следует, что каждая из внутренних сумм не превышает .

Общий случай[править | править код]

Если все – целые, то, раскрывая произведения и применяя уже доказанный частный случай для получившихся слагаемых, получим

Делением обоих частей на целые числа можно получить то же неравенство для рациональных , а из непрерывности сложения и умножения следует и обобщение для произвольных вещественных . Это утверждение в точности соответствует неравенству Коши-Буняковского для последовательностей

.

Поэтому неравенство для произвольных , следует из возможности обратной замены

.

Вероятностный (через суммирование квадратов)[править | править код]

Идея (на примере дисперсии)[править | править код]

Самая известная реализация этого метода – рассмотрение дисперсии случайной величины. Очевидно, что если величина принимает неотрицательные значения, то её математическое ожидание также будет неотрицательно, поэтому

для любой случайной величины . Благодаря линейности математического ожидания из этого следует, что

Пусть все и . Для случайной величины , которая принимает значение с вероятностью , это неравенство означает, что

то есть

Отсюда неравенство Коши-Буняковского можно получить той же заменой переменных, что и в случае с применением перестановочного неравенства.

Интерпретация и альтернативные формы[править | править код]

После замены переменных математическое ожидание описанной выше величины будет иметь вид

Поэтому вероятностное доказательство, в сущности рассматривает сумму

Из очевидной (ввиду возведения скобки в квадрат) неотрицательности этой суммы выводится соотношение между слагаемыми, получающимися при раскрытии скобки – двое из трёх таких слагаемых сокращаются в одно (различаются лишь на константу) за счёт структуры формулы. Изменяя нормировку (деление на суммы) с помощью внесения множителей под скобки и домножения константы, легко увидеть, что такой подход аналогичен использованию более наглядной суммы

Неравенства с такими суммами, записанные без привязки к вероятностным определениям, остаются корректным и без условия из предыдущего раздела. В частности, для произвольного гильбертова пространства при можно рассмотреть неравенство

а при достаточно домножить на комплексное число вида чтобы свести всё к первому случаю.

Аналогичным способом можно использовать другую, симметричную, сумму, где после раскрытия скобки сокращаются два крайних слагаемых (полученные возведением в квадрат), а не крайнее с центральным:

или, что то же самое,

Кроме вероятностной интерпретации, использование таких сумм может быть описано через оценку дискриминанта квадратного уравнения или неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим.[4]

Прямой (через группировку множителей)[править | править код]

Ещё одна (впрочем, нуждающаяся в инструментарии двух предыдущих) идея состоит в представлении неравенства в виде

Такую форму можно доказать двумя способами:

  • сравнивав все слагаемые за один шаг, применив перестановочное неравенство для двух копий набора и перестановки [5];

Применение случая к суммам[править | править код]

Неравенство можно получить с помощью индукции, шагом которой для перехода от к -ому слагаемому будет применение того же неравенства для двух слагаемых. Предположение индукции для последовательнсотей , даёт неравенство

А из случая для последовательностей , легко видеть, что

Таким образом неравенство доказывается для произвольного индукцией с базой . Базу можно доказать любым из остальных способов (например, через неравенство ).[7] Также для существуют наглядные геометрические доказательства.[8][9]

Литература[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. См. доказательство 11 в Wu, 2009
  2. Bounjakowsky W. «Mémoires de l’Académie des sciences de St-Pétersbourg. 7 série», 1859, t. 1, № 9.
  3. Wu, 2009.
  4. См. доказательства 2 (при ), 5 в Wu, 2009 для первой суммы и доказательства 3, 4, 8 там же для второй.
  5. См. доказательство 7 в Wu, 2009.
  6. См. доказательства 1, 6 (для случая ) и 12 (после раскрытия индукции, то есть суммирования различных ) в Wu, 2009.
  7. См. доказательство 6 в Wu, 2009.
  8. Обзор доказательств неравенства Коши-Буняковского, (см. геометрические доказательства для на с. 15-18)
  9. Интерактивная демонстрация геометрического доказательства