Неравенство Крамера — Рао

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математической статистике неравенством Краме́ра — Ра́о (в честь Гаральда Крамера и К. Р. Рао) называется неравенство, которое при некоторых условиях на статистическую модель даёт нижнюю границу для дисперсии оценки неизвестного параметра, выражая её через информацию Фишера.

Формулировка[править | править вики-текст]

Пусть дана статистическая модель , выборка размера , определена функция правдоподобия и выполнены следующие условия (условия регулярности):

  • и везде дифференцируема по .
  • Функция (функция вклада выборки) имеет конечную дисперсию (или, что то же, конечна информация Фишера).
  • Для любой статистики с конечным вторым моментом имеет место равенство
.

Пусть при этих условиях дана статистика , которая несмещённо оценивает дифференцируемую функцию . Тогда справедливо следующее неравенство:

  • , где ;
  • равенство достигается тогда и только тогда, когда .

Здесь — количество информации по Фишеру в одном наблюдении, а - плотность распределения генеральной совокупности в случае непрерывной статистической модели и вероятность события в случае дискретной статистической модели.

Частный случай[править | править вики-текст]

Часто используется следующий частный случай вышеприведённого неравенства, также называемый неравенством Рао-Крамера. Пусть выполнены условия регулярности, а несмещённая оценка параметра . Тогда

.

Равенство в этом неравенстве достигается тогда и только тогда, когда .

Применение[править | править вики-текст]

Оценка параметра называется эффективной, если для неё неравенство Крамера — Рао обращается в равенство. Таким образом, неравенство может быть использовано для доказательства того, что дисперсия данной оценки наименьшая из возможных, то есть что данная оценка в некотором смысле лучше всех остальных.

Литература[править | править вики-текст]

  • Математическая статистика, под ред. В.С. Зарубина, серия "Математика в техническом университете", вып. XVII, М., МГТУ, 2002