Неравенство Пидо

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Неравенство Пидо (также неравенство Пидо — Нойберга) — неравенство в геометрии, названное в честь Даниеля Пидо[en] (1910—1998) и Жозефа Нойберга (1840—1926). Неравенство утверждает, что если , , и , ,  — длины сторон треугольников и , a и  — их площади, тогда

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда эти треугольники подобны с парами соответствующих сторон , и .

Выражение слева не только симметрично для перестановок пар , и , но и (что, возможно, не так очевидно) остаётся неизменным, если поменять местами и , и , и . Другими словами, выражение слева является симметрической функцией от пары треугольников.

Частным случаем неравенства Пидо, в котором один из треугольников равносторонний, является неравенство Вайценбока[en].

Пидо обнаружил это неравенство в 1941 году и опубликовал его в нескольких статьях. Позже он узнал, что неравенство было уже известно Нойбергу в XIX веке, который, однако, не доказал, что из равенства следует подобие двух треугольников.

Литература[править | править код]

  • Daniel Pedoe: An Inequality Connecting Any Two Triangles. The Mathematical Gazette, Vol. 25, No. 267 (Dec., 1941), pp. 310—311 (JSTOR)
  • Daniel Pedoe: A Two-Triangle Inequality. The American Mathematical Monthly, volume 70, number 9, page 1012, November, 1963.
  • Daniel Pedoe: An Inequality for Two Triangles. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, volume 38, part 4, page 397, 1943.
  • Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: When Less is More: Visualizing Basic Inequalities. MAA, 2009, 978-0-88385-342-9, p. 108
  • D.S. Mitrinović, Josip Pečarić: About the Neuberg-Pedoe and the Oppenheim inequalities. Journal of Mathematical Analysis and Applications 129(1):196-210 · January 1988 (online copy)