Неравенство Чебышёва

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Неравенство Чебышева»)
Перейти к: навигация, поиск

Нера́венство Чебышёва, известное также как неравенство Биенэме — Чебышёва, это распространённое неравенство из теории меры и теории вероятностей. Оно было первый раз получено Бьенеме в 1853 году, и позже также Чебышёвым. Неравенство, использующееся в теории меры, является более общим, в теории вероятностей используется его следствие.

Неравенство Чебышёва в теории меры[править | править вики-текст]

Неравенство Чебышёва в теории меры описывает взаимосвязь интеграла Лебега и меры. Аналог этого неравенства в теории вероятностей — неравенство Маркова. Неравенство Чебышёва также используется для доказательства вложения пространства в слабое пространство .

Формулировки[править | править вики-текст]

  • Пусть  — пространство с мерой. Пусть также
    •  — суммируемая на функция
    • .
Тогда справедливо неравенство:
.
  • В более общем виде:
Если  — неотрицательная вещественная измеримая функция, неубывающая на области определения , то
  • В терминах пространства :
Пусть . Тогда

Неравенство Чебышёва может быть получено, как следствие из неравенства Маркова.

Неравенство Чебышёва в теории вероятностей[править | править вики-текст]

Неравенство Чебышёва в теории вероятностей утверждает, что случайная величина в основном принимает значения, близкие к своему среднему. А более точно, оно даёт оценку вероятности того, что случайная величина примет значение, далёкое от своего среднего.

Неравенство Чебышёва является следствием неравенства Маркова.

Формулировки[править | править вики-текст]

Пусть случайная величина определена на вероятностном пространстве , а её математическое ожидание и дисперсия конечны. Тогда

,

где .

Если , где  — стандартное отклонение и , то получаем

.

В частности, случайная величина с конечной дисперсией отклоняется от среднего больше, чем на стандартных отклонения, с вероятностью меньше . Она отклоняется от среднего на стандартных отклонения с вероятностью меньше .

Для важнейшего случая одномодальных распределений Неравенство Высочанского — Петунина существенно усиливает неравенство Чебышёва, включая в себя дробь 4/9. Таким образом, граница на стандартных отклонения включает «почти все» (то есть ) значения случайной величины и в случае нормального распределения оценка улучшается до 99,73 %.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Колмогоров, А. Н., Фомин, С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.

Ссылки[править | править вики-текст]