Неравенство Юнга

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Нера́венство Ю́нга в математике — элементарное неравенство, используемое в доказательстве неравенства Гёльдера. Является частным случаем более общего неравенства Юнга — Фенхеля.

Формулировка[править | править вики-текст]

Пусть и  — сопряженные показатели (то есть такие числа, что ). Тогда

.

Доказательство[править | править вики-текст]

Для или неравенство очевидно. Для , неравенство следует из выпуклости вверх (это свойство называется также вогнутостью) логарифмической функции: для любых ,

.

Положив в этом неравенстве получим, что

,

которое равносильно неравенству Юнга.

Альтернативный вариант[править | править вики-текст]

Доказательство, как частный случай неравенства Юнга-Фенхеля. Для скалярной функции неравенство Юнга-Фенхеля записывается в виде:

,

где есть преобразование Лежандра от функции . Если положить , то преобразование Лежандра в точке даёт

,

где . Подставляя полученное в исходное неравенство получаем искомый результат.

Замечание[править | править вики-текст]

Равенство достигается в том и только том случае, когда .

См. также[править | править вики-текст]