Неравенство треугольника

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Нера́венство треуго́льника в геометрии, функциональном анализе и смежных дисциплинах — это одно из интуитивных свойств расстояния. Оно утверждает, что длина любой стороны треугольника всегда не превосходит сумму длин двух его других сторон. Неравенство треугольника включается как аксиома в определение метрического пространства, нормы и т.д.; также, часто является теоремой в различных теориях.

Евклидова геометрия[править | править вики-текст]

Длина любой стороны треугольника не превосходит сумму длин двух других.

Пусть дан треугольник \Delta ABC. Тогда |AC| \leqslant |AB|+|BC|, причём равенство |AC| = |AB|+|BC| достигается только тогда, когда треугольник вырожден, и точка B лежит строго между A и C.

Евклид в Началах доказывает неравенство треугольника следующим образом. Сначала доказывается теорема о том, что внешний угол треугольника больше внутреннего угла, с ним не смежного. Из неё выводится теорема о том, что против большей стороны треугольника лежит больший внутренний угол. Далее, методом от противного доказывается теорема о том, что против большего внутреннего угла треугольника лежит большая сторона. А из этой теоремы выводится неравенство треугольника.

Нормированное пространство[править | править вики-текст]

Пусть (X,\|\cdot\|)нормированное векторное пространство, где X — произвольное множество, а \|\cdot\| — определённая на X норма. Тогда по определению последней справедливо:

\|x+y\| \leqslant \|x\| + \|y\|,\quad \forall x,y\in X.

Гильбертово пространство[править | править вики-текст]

В гильбертовом пространстве, неравенство треугольника является следствием неравенства Коши — Буняковского.

Метрическое пространство[править | править вики-текст]

Пусть (X,\rho)метрическое пространство, где X — произвольное множество, а \rho — определённая на X метрика. Тогда по определению последней

\rho(x,y) \leqslant \rho(x,z) + \rho(z,y),\quad x,y,z\in X.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

Обратное неравенство треугольника[править | править вики-текст]

Следствием неравенства треугольника в нормированном и метрическом пространствах являются следующие неравенства:

  • \bigl| \|x\| - \|y\| \bigr| \leqslant \|x-y\|,\quad x,y\in X;
  • | \rho(x,y) - \rho(x,z) | \leqslant \rho(y,z), \quad x,y,z\in X.

Неравенство треугольника для трёхгранного угла[править | править вики-текст]

Каждый плоский угол выпуклого трёхгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов.