Неравенство треугольника

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Нера́венство треуго́льника в геометрии, функциональном анализе и смежных дисциплинах — это одно из интуитивных свойств расстояния. Оно утверждает, что длина любой стороны треугольника всегда меньше суммы длин двух его других сторон. Неравенство треугольника включается как аксиома в определение метрического пространства, нормы и т.д.; также, часто является теоремой в различных теориях.

Евклидова геометрия[править | править код]

Длина любой стороны треугольника не превосходит сумму длин двух других.

Неравенство

выполняется в любом треугольнике . Причём равенство достигается только тогда, когда треугольник вырожден, и точка лежит строго между и .

Евклид в Началах доказывает неравенство треугольника следующим образом. Сначала доказывается теорема о том, что внешний угол треугольника больше внутреннего угла, с ним не смежного. Из неё выводится теорема о том, что против большей стороны треугольника лежит больший внутренний угол. Далее, методом от противного доказывается теорема о том, что против большего внутреннего угла треугольника лежит большая сторона. А из этой теоремы выводится неравенство треугольника.

Доказательство[править | править код]

Рассмотрим произвольный треугольник .

Triangle-inequality.svg

Докажем, что .

На продолжении стороны отложим отрезок равный стороне . Полученный треугольник равнобедренный, значит

 

 

 

 

(1)

Рассмотрим треугольник .
В этом треугольнике — это часть , поэтому:

 

 

 

 

(2)

Учитывая (1), получаем:

 

 

 

 

(3)

По теореме о соотношении между углами и сторонами треугольника [1], против большего угла треугольника лежит большая сторона.
Следовательно в треугольнике имеет место неравенство:

 

 

 

 

(4)

Кроме того:

 

 

 

 

(5)

Из (4) и (5) получаем искомое:

Нормированное пространство[править | править код]

Пусть нормированное векторное пространство, где — произвольное множество, а — определённая на норма. Тогда по определению последней справедливо:

Гильбертово пространство[править | править код]

В гильбертовом пространстве, неравенство треугольника является следствием неравенства Коши — Буняковского.

Метрическое пространство[править | править код]

Пусть метрическое пространство, где — произвольное множество, а — определённая на метрика. Тогда по определению последней

Вариации и обобщения[править | править код]

Обратное неравенство треугольника[править | править код]

Следствием неравенства треугольника в нормированном и метрическом пространствах являются следующие неравенства:

Неравенство треугольника для трёхгранного угла[править | править код]

Каждый плоский угол выпуклого трёхгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов.

Произвольное число точек[править | править код]

Обозначим расстояние между точками и . Тогда имеет место следующее неравенство: . Оно получается последовательным применением неравенства треугольника для трех точек: [2]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Теорема о соотношении между углами и сторонами треугольника. Мир математики. Дата обращения: 19 декабря 2021.
  2. Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс. — М.: Физматлит, 1961. — C. 28