Неравенство треугольника

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Нера́венство треуго́льника в геометрии, функциональном анализе и смежных дисциплинах — это одно из интуитивных свойств расстояния. Оно утверждает, что длина любой стороны треугольника всегда не превосходит сумму длин двух его других сторон. Неравенство треугольника включается как аксиома в определение метрического пространства, нормы и т.д.; также, часто является теоремой в различных теориях.

Евклидова геометрия[править | править вики-текст]

Длина любой стороны треугольника не превосходит сумму длин двух других.

Пусть дан треугольник Тогда причём равенство достигается только тогда, когда треугольник вырожден, и точка лежит строго между и .

Евклид в Началах доказывает неравенство треугольника следующим образом. Сначала доказывается теорема о том, что внешний угол треугольника больше внутреннего угла, с ним не смежного. Из неё выводится теорема о том, что против большей стороны треугольника лежит больший внутренний угол. Далее, методом от противного доказывается теорема о том, что против большего внутреннего угла треугольника лежит большая сторона. А из этой теоремы выводится неравенство треугольника.

Нормированное пространство[править | править вики-текст]

Пусть нормированное векторное пространство, где — произвольное множество, а — определённая на норма. Тогда по определению последней справедливо:

Гильбертово пространство[править | править вики-текст]

В гильбертовом пространстве, неравенство треугольника является следствием неравенства Коши — Буняковского.

Метрическое пространство[править | править вики-текст]

Пусть метрическое пространство, где — произвольное множество, а — определённая на метрика. Тогда по определению последней

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

Обратное неравенство треугольника[править | править вики-текст]

Следствием неравенства треугольника в нормированном и метрическом пространствах являются следующие неравенства:

Неравенство треугольника для трёхгранного угла[править | править вики-текст]

Каждый плоский угол выпуклого трёхгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов.