Нормальная форма Чибрарио

Нормальная форма Чибрарио — нормальная форма дифференциального уравнения, не разрешённого относительно производной, в окрестности простейшей особой точки. Название предложено В. И. Арнольдом в честь итальянского математика Марии Чибрарио, установившей эту нормальную форму для одного класса уравнений.

Связанные определения

Особые точки

Пусть дифференциальное уравнение имеет вид

$F(x,y,p)=0,\$ где $p={\frac {dy}{dx}}.$

Функция $F$ предполагается вещественной, гладкой класса $C^{\infty }$ (или аналитической) по совокупности всех трёх переменных. Особые точки такого уравнения — это точки трёхмерного пространства с координатами $(x,y,p)$, лежащие на поверхности, задаваемой уравнением $F=0$, в которых производная $F_{p}$ обращается в нуль, т. е. проектирование $\pi$ поверхности $\{F=0\}$ на плоскость переменных $x,y$ вдоль направления оси $p$ нерегулярно. В общем случае множество особых точек образует на поверхности $\{F=0\}$ кривую, называемую криминантой. Проекция криминанты на плоскость $(x,y)$ называется дискриминантной кривой, её точки тоже часто называют особыми точками уравнения, хотя при этом возможна неточность: при проектировании $\pi$ различным точками поверхности $\{F=0\}$ может соответствовать одна и та же точка плоскости переменных $(x,y)$.

Поднятие уравнения

Дифференциальное соотношение $p=dy/dx$ задает в пространстве $(x,y,p)$ поле контактных плоскостей $pdx-dy=0$. Пересечение контактных плоскостей с плоскостями, касательными к поверхности $\{F=0\}$, задает на последней поле направлений (определенное во всех точках, где контактные и касательные плоскости не совпадают друг с другом). Интегральные кривые построенного таким образом поля являются 1-графиками решений исходного уравнения, а их проекции на плоскость $(x,y)$ — графиками решений

Поднятие уравнения на поверхность

Описанная конструкция исследования уравнений, не разрешённых относительно производной, восходит к третьему мемуару А. Пуанкаре «О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями» (1885); в современной математической литературе она часто называется поднятием уравнения на поверхность.

Теорема о нормальной форме

Простейшими особыми точками уравнения $F(x,y,p)=0$ являются так называемые регулярные особые точки, в которых проектирование $\pi$ имеет особенность, называемую складкой Уитни, и контактная плоскость не касается поверхности $F=0.$ Это равносильно выполнению в данной точке условий:

$F=0,\quad F_{p}=0,\quad F_{pp}\neq 0,\quad F_{x}+pF_{y}\neq 0.$

Теорема. В окрестности регулярной особой точки уравнение $F(x,y,p)=0$ с гладкой (или аналитической) функцией $F$ гладко (соответственно, аналитически) эквивалентно уравнению $p^{2}-x=0,$ называемому нормальной формой Чибрарио.

В 1932 году Чибрарио получила эту нормальную форму, исследуя характеристики уравнения с частными производными второго порядка смешанного типа.

Примеры

Нормальная форма Чибрарио является характеристическим уравнением для уравнения Трикоми

$u_{xx}-xu_{yy}=0$,

относящегося к эллиптическому типу в полуплоскости $x<0$ и к гиперболическому — в полуплоскости $x>0$.

Семейство решений в нормальной форме Чибрарио

Уравнение $p^{2}-x=0$ легко интегрируется: графики его решений образуют семейство полукубических парабол

$y=\pm {\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}+{\rm {const,}}$

заполняющих полуплоскость $x>0$, точки возврата которых лежат на дискриминантной кривой — оси $y$.

Аналогичным образом выглядят асимптотические линии двумерной поверхности в евклидовом пространстве в окрестности типичной параболической точки. Нормальная форма Чибрарио соответствует также простейшим особенностям поля медленного движения в быстро-медленных динамических системах.

Литература

• Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, — Любое издание.
• Арнольд В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, — Любое издание.
• Арнольд В. И., Ильяшенко Ю. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения, — Итоги науки и техн. Сер. Совр. пробл. мат. Фундам. направ., 1985, том 1.
• Арнольд В. И., Афраймович В. С., Ильяшенко Ю. С., Шильников Л. П. Теория бифуркаций, — Итоги науки и техн. Сер. Совр. пробл. мат. Фундам. направ., 1986, том 5.
• Cibrario M. Sulla reduzione a forma canonica delle equazioni lineari alle derivative parzialy di secondo ordine di tipo misto, — Rend. Lombardo 65 (1932), pp. 889–906.