Центростремительное ускорение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Нормальное ускорение»)
Перейти к: навигация, поиск

Центростремительное ускорение — компонента ускорения точки, характеризующая быстроту изменения направления вектора скорости для траектории с кривизной (вторая компонента, тангенциальное ускорение, характеризует изменение модуля скорости). Направлено к центру кривизны траектории, чем и обусловлен термин. По величине равно квадрату скорости, поделённому на радиус кривизны. Термин «центростремительное ускорение» эквивалентен термину «нормальное ускорение». Ту составляющую суммы сил, которая обуславливает это ускорение, называют центростремительной силой.

Наиболее простым примером центростремительного ускорения является вектор ускорения при равномерном движении по окружности (направленный к центру окружности).

В классической механике центростремительное ускорение вызывается компонентами сил, направленными ортогонально вектору скорости, и, следовательно, оно перпендикулярно касательной к траектории в данной точке. Например, кривизна орбит космических объектов характеризуется центростремительным ускорением, вызванным гравитацией.

Связанное понятие для неинерциальных систем отсчёта — центробежная сила.

Осестремительное ускорение в проекции на плоскость, перпендикулярную оси, предстаёт как центростремительное.

Элементарная формула[править | править вики-текст]

или

где  — нормальное (центростремительное) ускорение,  — (мгновенная) линейная скорость движения по траектории,  — (мгновенная) угловая скорость этого движения относительно центра кривизны траектории,  — радиус кривизны траектории в данной точке. (Связь между первой формулой и второй очевидна, учитывая ).

Выражения выше включают абсолютные величины. Их легко записать в векторном виде, домножив на  — единичный вектор от центра кривизны траектории к данной её точке:

Эти формулы равно применимы к случаю движения с постоянной (по абсолютной величине) скоростью, так и к произвольному случаю. Однако во втором надо иметь в виду, что центростремительное ускорение не есть полный вектор ускорения, а лишь его составляющая, перпендикулярная траектории (или, что то же, перпендикулярная вектору мгновенной скорости); в полный же вектор ускорения тогда входит еще и тангенциальная составляющая (тангенциальное ускорение) , по направлению совпадающее с касательной к траектории (или, что то же, с мгновенной скоростью)[1].

Мотивация и вывод[править | править вики-текст]

То, что разложение вектора ускорения на компоненты — одну вдоль касательного к траектории вектора (тангенциальное ускорение) и другую ортогональную ему (нормальное ускорение) — может быть удобным и полезным, довольно очевидно само по себе. При движении с постоянной по модулю скоростью тангенциальная составляющая становится равной нулю, то есть в этом важном частном случае остается только нормальная составляющая. Кроме того, как можно увидеть ниже, каждая из этих составляющих имеет ярко выраженные собственные свойства и структуру, и нормальное ускорение содержит в структуре своей формулы достаточно важное и нетривиальное геометрическое наполнение. Не говоря уже о важном частном случае движения по окружности.

Формальный вывод[править | править вики-текст]

Разложение ускорения на тангенциальную и нормальную компоненты (вторая из которых и есть центростремительное или нормальное ускорение) можно найти, продифференцировав по времени вектор скорости, представленный в виде через единичный вектор касательной :

где первое слагаемое — тангенциальное ускорение, а второе — нормальное ускорение.

Здесь использовано обозначение для единичного вектора нормали к траектории и  — для текущей длины траектории (); в последнем переходе также использовано очевидное .

Далее можно просто формально назвать член

— нормальным (центростремительным) ускорением. При этом его смысл, смысл входящих в него объектов, а также доказательство того факта, что он действительно ортогонален касательному вектору (то есть что  — действительно вектор нормали) — будет следовать из геометрических соображений (впрочем, то, что производная любого вектора постоянной длины по времени перпендикулярна самому этому вектору, — достаточно простой факт; в данном случае мы применяем это утверждение для

Замечания[править | править вики-текст]

Легко заметить, что абсолютная величина тангенциального ускорения зависит только от путевого ускорения, совпадая с его абсолютной величиной, в отличие от абсолютной величины нормального ускорения, которая от путевого ускорения не зависит, зато зависит от путевой скорости.

Приведенные здесь способы или их варианты могут быть использованы для введения таких понятий, как кривизна кривой и радиус кривизны кривой[2] (поскольку в случае, когда кривая — окружность, R совпадает с радиусом такой окружности; не слишком трудно также показать, что окружность в плоскости с центром в направлении от данной точки на расстоянии R от неё — будет совпадать с данной кривой — траекторией — с точностью до второго порядка малости по расстоянию до данной точки).

История[править | править вики-текст]

Первым правильные формулы для центростремительного ускорения (или центробежной силы) получил, по-видимому, Гюйгенс. Практически с этого времени рассмотрение центростремительного ускорения входит в обычную технику решения механических задач и т.д.

Несколько позже эти формулы сыграли существенную роль в открытии закона всемирного тяготения (формула центростремительного ускорения использовалась для получения закона зависимости гравитационной силы от расстояния до источника гравитации, исходя из выведенного из наблюдений третьего закона Кеплера).

К XIX веку рассмотрение центростремительного ускорения становится уже совершенно рутинным как для чистой науки, так и для инженерных приложений.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Как видно из формулы, при движении с постоянной путевой скоростью — тангенциальное ускорение попросту равно нулю.
  2. Рассматривая кривую в качестве траектории движения точки. Для введения этих понятий в принципе достаточно рассмотреть движение с постоянной единичной скоростью, хотя это упрощает дело не так уж существенно.