Оператор Гильберта — Шмидта

Оператор Гильберта — Шмидта — класс компактных операторов в гильбертовом пространстве

Определение

Пусть $T:H\to K$ - компактный оператор между гильбертовыми пространствами.
Для $T$ можно выбрать ортонормированные системы $\{e_{1}^{'},e_{2}^{'},...\}\subset H$, $\{e_{1}^{''},e_{2}^{''},...\}\subset K$ и последовательность неотрицательных чисел $\{s_{n}\}$ так, что $Tx=\sum _{n}s_{n}(x,e_{n}^{'})e_{n}^{''}$.
$T$ называют оператором Гильберта — Шмидта, если для его $s$-чисел выполнено неравенство: $\sum _{n}s_{n}^{2}<\infty$.
Класс операторов Гильберта — Шмидта обозначают: $\mathbf {S} _{2}(H,K)$

Свойства

• Класс $\mathbf {S} _{2}(H,K)$ представляет собой банахово пространство относительно нормы $||T||_{HS}={\sqrt {\sum _{n}s_{n}^{2}}}$

• Совокупность операторов конечного ранга плотна в $\mathbf {S} _{2}(H,K)$

• Пространство $\mathbf {S} _{2}(H,K)$ - сепарабельно, если $H,K$ - сепарабельны

• Если $T_{1},T_{2}\in \mathbf {S} _{2}(H)$, то $T=T_{1}T_{2}$ - ядерный оператор и
  $||T||_{\mathcal {N}}\leq ||T_{1}||_{HS}||T_{2}||_{HS}$

• В конечномерном пространстве норма Гильберта — Шмидта совпадает с нормой Фробениуса

• Композиция оператора Гильберта — Шмидта с любым ограниченным оператором является оператор Гильберта — Шмидта

• $T$ - оператор Гильберта — Шмидта, если найдутся такие ортонормированные базисы $\{e_{n}\}_{n\in I}$ и $\{f_{m}\}_{m\in J}$ в пространстве $H$ и $K$ соответственно, что $\sum _{n,m}|\langle T(e_{n}),f_{m}\rangle _{K}|^{2}<+\infty$. Величину $\langle T(e_{n}),f_{m}\rangle _{K}$ называют матричным элементом оператора$T$. Их совокупность образует аналог матрицы линейного оператора. Таким образом, операторы Гильберта — Шмидта — операторы с квадратично суммируемой матрицей.

Скалярное произведение Гильберта — Шмидта

Класс $\mathbf {S} _{2}(H)$ можно естественным образом превратить в гильбертово пространство, если для операторов $T_{1},T_{2}\in \mathbf {S} _{2}(H)$ ввести скалярное произведение:
$\langle T_{1},T_{2}\rangle =\operatorname {Tr} (T_{1}T_{2}^{*})=\operatorname {Tr} (T_{2}^{*}T_{1})$, которое вдобавок согласуется с $||\cdot ||_{2}$.

Из этого следует ряд свойств:

• Класс $\mathbf {S} _{2}(H)$ - сепарабельное гильбертово пространство.
• Пусть $\{e_{k}^{'}\}$ и $\{e_{l}^{''}\}$ - какие-либо ортонормированные базисы в $H$. Тогда система одномерных операторов $T_{kl}=(\cdot ,e_{k}^{'})e_{l}^{''}$ образуют ортонормированный базис в гильбертовом пространстве $\mathbf {S} _{2}(H)$

Примеры

• Оператор в $L_{2}[a,b]$ является оператором Гильберта — Шмидта тогда и только тогда, когда он является интегральным оператором с квадратично интегрируемым ядром.
• Ядерный оператор является оператором Гильберта — Шмидта

Литература

• А. Я. Хелемский. Лекции по функциональному анализу. — МЦНМО, 2014. — 552 с. — 2000 экз. — ISBN 5-94057-065-8.
• А. Пич. Ядерные локально выпуклые пространства. — МИР, 1967. — 266 с.
• М. Ш. Бирман М. З. Соломяк. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. — Лань, 2010. — 458 с. — 1000 экз. — ISBN 978-5-8114-1076-7.

См. также

• Компактный оператор
• Ядерный оператор