Нормирование

Запрос «Абсолютное значение» перенаправляется сюда; о значении Абсолютная величина см. Абсолютная величина.

Норми́рование — отображение элементов поля F или целостного кольца в некоторое упорядоченное поле P $x\mapsto ||x||$, обладающее следующими свойствами:

1) $~||x|| \geqslant 0$ и $~||x|| = 0$ только при $x = 0$

2) $~||xy|| = ||x|| \cdot ||y||$

3) $||x+y|| \leqslant ||x||+||y||$

Если вместо 3) выполняется более сильное условие:

3a) $||x+y|| \leqslant \max(||x||,||y||)$, то нормирование называется неархимедовым.

Значение $~||x||$ называется нормой элемента x. Если упорядоченное поле P является полем вещественных чисел R, то нормирование часто называют абсолютным значением.

Примеры нормирований

• Нормирование, при котором $||0||=0$, $||x||=1$ для остальных x. Такое нормирование называется тривиальным.
• Обычная абсолютная величина в поле вещественных чисел $\mathbb{R}$ и модуль в поле комплексных чисел $\mathbb{C}$ являются нормированием.
• Пусть $\mathbb{Q}$ — поле рациональных чисел, а p — некоторое простое число. Любое рациональное число можно представить в виде дроби $x=p^n\frac{a}{b}$, где a и b не кратны p. Можно определить следующее нормирование $|x|_p=p^{-n}$. Это нормирование является неархимедовым и называется p-адическим нормированием.

Свойства нормы

• $|1| = |-\!1| = 1$
• Для вещественнозначного нормирования выполняется свойство $|\;|x|-|y|\;| \leqslant |x-y|$ (здесь предполагается, что на поле вещественных чисел задана обычная норма - модуль числа)
• Вещественнозначное нормирование является неархимедовым тогда и только тогда, когда существует положительное число A, такое, что для любой суммы единичных элементов поля F:

3b) $|| 1+1+...+1 || \leqslant A$

Пусть данное условие выполнено. Тогда для любых элементов x и y из поля F имеем:

$|(x+y)^n|=|x^n+ \ldots +C_n^i\,x^{n-i}\,y^i+ \ldots +y^n| \leqslant (n+1)A[\max(|x|,|y|)]^n$

Извлекая из обеих частей корень и переходя к пределу при $n \to \infty$, получаем условие 3a). Обратное утверждение очевидно.

Нормированное поле как метрическое пространство

Из свойств 1-3 немедленно следует, что, определяя расстояние между двумя элементами вещественнозначного нормированного поля F как норму разности $||x-y||$, мы превращеем его в метрическое пространство, в случае неархимедовой нормы — в ультраметрическое пространство. Разные нормы определяют разные метрики. Если при этом они определяют одинаковую топологию в F, то такие нормы называются зависимыми.

Пополнение

Как и для любого метрического пространства, можно ввести понятие полноты и доказать, что любое нормированное поле F изоморфно вкладывается в полное нормированное поле F*, то есть существует изоморфизм $i:F \rightarrow F^*$. Норма в F* продолжает норму в F, то есть для каждого x из F: $||i(x)||_{F^*}=||x||$, причём F плотно в F* относительно этой нормы. Любое такое поле F* определено однозначно с точностью до изоморфизма, сохраняющего нормы (изометрии) и тождественного на F; оно называется пополнением поля F.

Пример. Пополнением поля рациональных чисел $\mathbb{Q}$ с p-адической метрикой является поле p-адических чисел $\mathbb{Q}_p$.

Экспоненциальное нормирование

Пусть $v$ — отображение из мультипликативной группы поля $K^*$ в некоторую вполне упорядоченную абелеву группу, такое, что

1) $v(xy)=v(x)+v(y)$

2) $v(x+y)\geqslant \text{min}(x,y)$

Удобно также доопределить эту функцию в нуле: $v(0)=\infty$. Групповая операция на $\infty$ определена следующим образом: $a+\infty=\infty+a=\infty$ для любого $a$, $\infty$ упорядочена таким образом, чтобы быть больше всех элементов первоначальной группы. При этом свойства 1) и 2) остаются верными.

В терминологии Бурбаки функция с такими свойствами называется нормированием. Также термин «нормирование» для такой функции используют Атья и Макдональд и Ленг. Однако некоторые авторы оставляют термин «нормирование» для функции, обладающей свойствами, перечисленными в начале этой статьи, а нормирование в терминах Бурбаки называют экспоненциальным нормированием. Область значений отображения $v$ называют группой нормирования, а множество тех элементов x поля K, для которых $v(x)\geqslant 0$ — кольцом нормирования (обозначение — $R_v$), нетрудно проверить, что оно действительно является кольцом.

Дискретное нормирование — это экспоненциальное нормирование, являющееся отображением в аддитивную группу целых чисел. В этом случае кольцо нормирования называется кольцом дискретного нормирования.

Литература

• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972.
• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Наука, 1975.
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — М.: ИЛ, 1963. — Т. 2.
• Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1967.