Нормирование

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Норми́рование — отображение элементов поля или целостного кольца в некоторое упорядоченное поле , обладающее следующими свойствами:

1) и только при
2)
3)

Если вместо 3) выполняется более сильное условие:

3a) , то нормирование называется неархимедовым.

Значение называется нормой элемента . Если упорядоченное поле является полем вещественных чисел , то нормирование часто называют абсолютным значением.

Примеры нормирований[править | править вики-текст]

  • Нормирование, при котором , для остальных . Такое нормирование называется тривиальным.
  • Обычная абсолютная величина в поле вещественных чисел и модуль в поле комплексных чисел являются нормированием.
  • Пусть  — поле рациональных чисел, а  — некоторое простое число. Любое рациональное число можно представить в виде дроби , где и не кратны . Можно определить следующее нормирование . Это нормирование является неархимедовым и называется p-адическим нормированием.

Свойства нормы[править | править вики-текст]

  • Для вещественнозначного нормирования выполняется свойство (здесь предполагается, что на поле вещественных чисел задана обычная норма - модуль числа)
  • Вещественнозначное нормирование является неархимедовым тогда и только тогда, когда существует положительное число , такое, что для любой суммы единичных элементов поля :
3b)

Пусть данное условие выполнено. Тогда для любых элементов и из поля имеем:

Извлекая из обеих частей корень и переходя к пределу при , получаем условие 3a).[источник не указан 1178 дней] Обратное утверждение очевидно.[источник не указан 1178 дней]

Нормированное поле как метрическое пространство[править | править вики-текст]

Из свойств 1-3 немедленно следует, что, определяя расстояние между двумя элементами вещественнозначного нормированного поля как норму разности , мы превращеем его в метрическое пространство, в случае неархимедовой нормы — в ультраметрическое пространство. Разные нормы определяют разные метрики. Если при этом они определяют одинаковую топологию в , то такие нормы называются зависимыми.

Пополнение[править | править вики-текст]

Как и для любого метрического пространства, можно ввести понятие полноты и доказать, что любое нормированное поле изоморфно вкладывается в полное нормированное поле , то есть существует изоморфизм . Норма в продолжает норму в , то есть для каждого из : , причём плотно в относительно этой нормы. Любое такое поле определено однозначно с точностью до изоморфизма, сохраняющего нормы (изометрии) и тождественного на ; оно называется пополнением поля .

Пример. Пополнением поля рациональных чисел с p-адической метрикой является поле p-адических чисел .

Экспоненциальное нормирование[править | править вики-текст]

Пусть  — отображение из мультипликативной группы поля в некоторую вполне упорядоченную абелеву группу, такое, что

1)
2)

Удобно также доопределить эту функцию в нуле: . Групповая операция на определена следующим образом: для любого , упорядочена таким образом, чтобы быть больше всех элементов первоначальной группы. При этом свойства 1) и 2) остаются верными.

В терминологии Бурбаки функция с такими свойствами называется нормированием. Также термин «нормирование» для такой функции используют Атья и Макдональд[1] и Ленг.[2] Однако некоторые авторы оставляют термин «нормирование» для функции, обладающей свойствами, перечисленными в начале этой статьи, а нормирование в терминах Бурбаки называют экспоненциальным нормированием. Область значений отображения называют группой нормирования, а множество тех элементов поля , для которых  — кольцом нормирования (обозначение — ), нетрудно проверить, что оно действительно является кольцом.

Дискретное нормирование — это экспоненциальное нормирование, являющееся отображением в аддитивную группу целых чисел. В этом случае кольцо нормирования называется кольцом дискретного нормирования.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру, с. 115.
  2. Ленг С. Алгебра, с. 337.

Литература[править | править вики-текст]

  • Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972.
  • Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Наука, 1975.
  • Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — М.: ИЛ, 1963. — Т. 2.
  • Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1967.