Нотация Конвея для многогранников

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Этот рисунок показывает 11 новых многогранников, которые можно получить из куба с помощью трёх операций. Новые многогранники показаны как отображения на поверхность куба, чтобы были яснее видны топологические изменения. Вершины на всех многогранниках изображены в виде кружочков.
Н рисунке добавлены 3 другие операции — операция p=propellor Джорджа Харта, добавляющая четырёхугольники, операция g=gyro , создающая пятиугольники и операция c=chamfer, заменяющая рёбра шестиугольниками

Нотация Конвея для многогранников, разработанная Конвеем и продвигаемая Хартом[en], используется для описания многогранников, опираясь на затравочный (т.е. используемый для создания других) многогранник, модифицируемый различными префикс-операциями.

Конвей и Харт расширили идею использования операторов, подобных оператору truncation (усечения), определённого Кеплером, чтобы создавать связанные многогранники с той же симметрией. Базовые операторы могут сгенерировать все архимедовы тела и каталановы тела из правильных затравок. Например, tC представляет усечённый куб, а taC, полученный как t(aC), является усечённым октаэдром. Простейший оператор dual (двойственный) меняет местами вершины и грани. Так, двойственным многогранником для куба является октаэдр — dC=O. Применённые последовательно, эти операторы позволяют сгенерировать многие многогранники высокого порядка. Получающиеся многогранники будут иметь фиксированную топологию (вершины, рёбра, грани), в то время как точная геометрия не ограничивается.

Затравочные многогранники, являющиеся правильными многогранниками, представляются первой буквой в их (английском) названии (Tetrahedron = тетраэдр, Octahedron = октаэдр, Cube = куб, Icosahedron = икосаэдр, Dodecahedron = додекаэдр). Кроме того, используются призмы (Pn – от prism для n-угольных призм), антипризмы (An – от Antiprisms), купола (Un – от cupolae), антикупола (Vn) и пирамиды (Yn – от pyramid). Любой многогранник может выступать в качестве затравки, если операции могут на них быть выполнены. Например, правильногранные многогранники можно обозначить как Jn (от Johnson solids = тела Джонсона) для n=1…92.

В общем случае трудно предсказать результат последовательного применения двух и более операций на заданный многогранник-затравку. Например, операция ambo, применённая дважды, оказывается той же самой, что и операция expand (расширения), aa=e, в то время как операция truncation (усечение) после операции ambo даёт то же, что и операция bevel, ta=b. Не существует общей теории, описывающей, какие многогранники могут быть получены с помощью некоторого набора операторов. Наоборот, все результаты были получены эмпирически.

Операции на многогранниках[править | править код]

Элементы таблицы даны для затравки с параметрами (v,e,f) (вершин, рёбер, граней), преобразуемой в новые виды в предположении, что затравка является выпуклым многогранником (топологической сферой с эйлеровой характеристикой 2). Пример, базирующийся на затравке в виде куба, дан для каждого оператора. Базовые операции достаточны для генерации зеркально симметричных однородных многогранников и их двойственных. Некоторые базовые операции можно выразить через композицию других операций.

Специальные виды

Операция «kis» имеет вариант, kn, в этом случае добавляются только пирамиды к граням с n-сторонами.
Операция усечения имеет вариант, tn, в этом случае усекаются только вершины порядка n.

Операторы применяются подобно функциям справа налево. Например, кубооктаэдр является ambo кубом (кубом, к которому применена операция ambo), то есть t(C) = aC, а усечённый кубооктаэдр равен t(a(C)) = t(aC) = taC.

Оператор хиральности

  • r – «отражение» («reflect») – делает зеркальное отражение затравки. Оператор не меняет затравку, если к ней не были применены операторы s или g. Другой записью хиральной формы служит надчёркивание, например, s = rs.

Операции в таблице показаны на примере куба и нарисованы на поверхности куба. Синие грани пересекают исходные рёбра, розовые грани соответствуют исходным вершинам.

Базовые операции
Оператор Пример Название Альтернативное
построение
вершины рёбра грани Описание
Conway C.png Затравка v e f Исходный многогранник
r reflect v e f Зеркальный образ для хиральных форм
d Conway dC.png dual f e v Двойственный многогранник для затравки – каждая вершина создаёт новую грань
a Conway aC.png ambo dj
djd
e 2e f+v Новые вершины добавляются в середине рёбер, а старые вершины отрезаются (rectify)
Операция создаёт вершины с валентностью 4.
j Conway jC.png join da
dad
v+f 2e e К затравке добавляются пирамиды с достаточной высотой, так что два треугольника, принадлежащие разным пирамидам и имеющие общую сторону затравки, становятся копланарными (лежащими на одной плоскости) и образуют новую грань.
Операция создаёт квадратные грани.
k
kn
Conway kC.png kis nd = dz
dtd
v+f 3e 2e На каждой грани добавляется пирамида.
Акизация или кумуляция,[1] увеличение или пирамидальное расширение[en].
t
tn
Conway tC.png truncate nd = dz
dkd
2e 3e v+f Отсекает все вершины.
Операция является сопряжённой с kis
n Conway kdC.png needle kd = dt
dzd
v+f 3e 2e Двойственный многогранник к усечённой затравке. Грани триангулируются с двумя треугольниками для каждого ребра. Это делит пополам грани через все вершины и рёбра, удаляя при этом исходные рёбра.
Операция преобразует геодезический многогранник[en] (a,b) в (a+2b,a-b) для a>b.
Она также преобразует (a,0) в (a,a), (a,a) в (3a,0), (2,1) в (4,1), и т.д.
z Conway dkC.png zip dk = td
dnd
2e 3e v+f Двойственный многогранник к затравке после операции kis или усечение двойственного многогранника. Операция создаёт новые рёбра, перпендикулярные исходным рёбрам. Операция также называется bitruncation (глубоким усечением[en]).
Эта операция преобразует многогранник Голдберга[en] G(a,b) в G(a+2b,a-b) для a>b.
Она также преобразует G(a,0) в G(a,a), G(a,a) в G(3a,0), G(2,1) в G(4,1) и т.д.
e Conway eC.png expand
(растяжение)
aa
dod = do
2e 4e v+e+f Каждая вершина создаёт новую грань, а каждое ребро создаёт новый четырёхугольник. (cantellate = скашивание)
o Conway oC.png ortho daa
ded = de
v+e+f 4e 2e Каждая n-угольная грань делится на n четырёхугольников.
g
rg=g
Conway gC.png gyro dsd = ds v+2e+f 5e 2e Каждая n-угольная грань делится на n пятиугольников.
s
rs=s
Conway sC.png snub dgd = dg 2e 5e v+2e+f «расширение и кручение» – каждая вершина образует новую грань, а каждое ребро образует два новых треугольника
b Conway bC.png bevel dkda = ta
dmd = dm
4e 6e v+e+f Новые грани добавляются вместо рёбер и вершин. (cantitruncation = скос-усечение[en])
m Conway mC.png meta
medial
kda = kj
dbd = db
v+e+f 6e 4e Триангуляция с добавлением вершин в центрах граней и рёбер.

Образование правильных затравок[править | править код]

Все пять правильных многогранников могут быть получены из призматических генераторов, используя от нуля до двух операторов:

Правильная евклидова мозаика может также быть использована в качестве затравки:

Примеры[править | править код]

Куб может образовать все выпуклые однородные многогранники[en] с октаэдральной симметрией. В первой строке показаны архимедовы тела, а во второй — каталановы тела. Вторая строка образуется как двойственные многогранники к многогранникам первой строки. Если сравнивать каждый новый многогранник с кубом, можно понять визуально проведённые операции.

Куб
«затравка»
ambo truncate zip expand bevel snub
Uniform polyhedron-43-t0.png
C
dO
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Uniform polyhedron-43-t1.png
aC
aO
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Uniform polyhedron-43-t01.png
tC
zO
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Uniform polyhedron-43-t12.png
zC = dkC
tO
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Uniform polyhedron-43-t02.png
aaC = eC
eO
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Uniform polyhedron-43-t012.png
bC = taC
taO
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Uniform polyhedron-43-s012.png
sC
sO
CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
dual join needle kis ortho medial gyro
Uniform polyhedron-43-t2.png
dC
O
CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Rhombicdodecahedron.jpg
jC
jO
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Triakisoctahedron.jpg
dtC = kdC
kO
CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Tetrakishexahedron.jpg
kC
dtO
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png
Deltoidalicositetrahedron.jpg
oC
oO
CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png
Disdyakisdodecahedron.jpg
dtaC = mC
mO
CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png
Pentagonalicositetrahedronccw.jpg
gC
gO
CDel node fh.pngCDel 4.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png

Усечённый икосаэдр, tI или zD, являющийся многогранником Голдберга[en] G(2,0), создаёт дополнительные многогранники, которые ни вершинно-, ни гранетранзитивны.

Усечённый икосаэдр в качестве затравки
«затравка» ambo truncate zip extension bevel snub[en]
Uniform polyhedron-53-t12.png
zD
tI
Rectified truncated icosahedron.png
azI
atI
Truncated truncated icosahedron.png
tzD
ttI
Conway polyhedron Dk6k5tI.png
tdzD
tdtI
Expanded truncated icosahedron.png
aazD = ezD
aatI = etI
Truncated rectified truncated icosahedron.png
bzD
btI
Snub rectified truncated icosahedron.png
szD
stI
dual join needle kis ortho medial gyro
Pentakisdodecahedron.jpg
dzD
dtI
Joined truncated icosahedron.png
jzD
jtI
Kissed kissed dodecahedron.png
kdzD
kdtI
Conway polyhedron K6k5tI.png
kzD
ktI
Ortho truncated icosahedron.png
ozD
otI
Meta truncated icosahedron.png
mzD
mtI
Gyro truncated icosahedron.png
gzD
gtI

Геометрические координаты производных форм[править | править код]

В общем случае затравка может считаться замощением поверхности. Поскольку операторы представляют топологические операции, то точные положения вершин производных форм в общем случае не определены. Выпуклые правильные многогранники в качестве затравки могут рассматриваться как замощения сферы, а потому производные многогранники можно рассматривать как расположенные на сфере. Подобно правильным мозаикам на плоскости, таким как шестиугольный паркет, эти многогранники на сфере могут выступать в качестве затравки для производных мозаик. Невыпуклые многогранники могут стать затравками, если связанные топологические поверхности определяются для ограничения положения вершин. Например, тороидальные многогранники могут произвести другие многогранники с точками на той же торической поверхности.

Пример: Затравка в виде додекаэдра как сферическая мозаика
Uniform tiling 532-t0.png
D
Uniform tiling 532-t01.png
tD
Uniform tiling 532-t1.png
aD
Uniform tiling 532-t12.png
zD = dkD
Uniform tiling 532-t02.png
eD
Uniform tiling 532-t012.png
bD = taD
Spherical snub dodecahedron.png
sD
Uniform tiling 532-t2.png
dD
Spherical triakis icosahedron.png
nD = dtD
Spherical rhombic triacontahedron.png
jD = daD
Spherical pentakis dodecahedron.png
kD = dtdD
Spherical deltoidal hexecontahedron.png
oD = deD
Spherical disdyakis triacontahedron.png
mD = dtaD
Spherical pentagonal hexecontahedron.png
gD
Пример: Затравка в виде евклидовой шестиугольной мозаики (H)
Uniform tiling 63-t0.png
H
Uniform tiling 63-t01.png
tH[en]
Uniform tiling 63-t1.png
aH
Uniform tiling 63-t12.png
tdH = H
Uniform tiling 63-t02.png
eH[en]
Uniform tiling 63-t012.png
bH[en] = taH
Uniform tiling 63-snub.png
sH
Uniform tiling 63-t2.png
dH
Tiling Dual Semiregular V3-12-12 Triakis Triangular.svg
nH = dtH
Tiling Dual Semiregular V3-6-3-6 Quasiregular Rhombic.svg
jH = daH
Uniform tiling 63-t2.png
dtdH = kH
Tiling Dual Semiregular V3-4-6-4 Deltoidal Trihexagonal.svg
oH[en] = deH
Tiling Dual Semiregular V4-6-12 Bisected Hexagonal.svg
mH = dtaH
Tiling Dual Semiregular V3-3-3-3-6 Floret Pentagonal.svg
gH = dsH

Производные операции[править | править код]

Смешение двух и более базовых операций приводит к широкому разнообразию форм. Имеется много других производных операций. Например, смешение двух ambo, kis или expand операций вместе с операциями dual. Использование альтернативных операторов наподобие join, truncate, ortho, bevel и medial может упростить имена и удалить операторы dual. Общее число рёбер производных операций можно вычислить через мультипликаторы каждого отдельного оператора.

Оператор(ы) d a
j
k, t
n, z
e
o
g
s
a&k a&e k&k k&e
k&a2
e&e
рёберный мультипликатор 1 2 3 4 5 6 8 9 12 16
Уникальных производных операторов 8 2 8 10 2

Операции в таблице показаны для куба (в качестве примера затравки) и нарисованы на поверхности куба. Голубые грани пересекают исходные рёбра, а розовые грани соответствуют исходным вершинам.

Производные операции
Оператор Пример Названеие Альтернативное
построение
вершины рёбра грани Описание
Conway C.png Затравка v e f Исходный многогранник
at Conway atC.png akd
3e 6e v+2e+f Операция ambo после truncate
jk Conway quadstar.png dak v+2e+f 6e 3e Операция join после kis. Подобна ortho, за исключением того, что новые квадратные грани вставляются на место исходных рёбер
ak Conway quadstar-dual.png dajd 3e 6e v+2e+f Операция ambo после kis. Подобна expand, за исключением того, что новые вершины добавляются на исходные рёбра, образуя два треугольника.
jt Conway datC.png dakd = dat v+2e+f 6e 3e Операция join после truncate. Двойственный многогранник к полученному после операций truncate, затем ambo
tj Conway dkaC.png dka 4e 6e v+e+f truncate join
ka Conway kaC.png v+e+f 6e 4e kis ambo
ea or ae Conway aaaC.png aaa 4e 8e v+3e+f расширенная операция ambo, тройная операция ambo
oa or je Conway daaaC.png daaa = jjj v+3e+f 8e 4e Операция ortho после ambo, тройная операция join
x=kt Conway ktC.png exalt kdkd
dtkd
v+e+f 9e 7e Операции kis truncate, триангуляция, деление рёбер на 3 части и добавление новых вершин в центр исходных граней.
Операция преобразует геодезический многогранник[en] (a,b) в (3a,3b).
y=tk Conway tkC.png yank dkdk
dktd
v+e+f 9e 7e Операции truncate kis, расширение шестиугольниками вокруг каждого ребра
Операция преобразует многогранник Голдберга[en] G(a,b) в G(3a,3b).
nk Conway dtkC.png kdk = dtk = ktd 7e 9e v+e+f needled kis
tn Conway dktC.png dkdkd = dkt = tkd 7e 9e v+e+f truncate needle
tt Conway ttC.png dkkd 7e 9e v+e+f двойная операция truncate
kk Conway kkC.png dttd v+2e+f 9e 6e двойная операция kis
nt Conway dttC.png kkd = dtt v+e+f 9e 7e needle truncate
tz Conway dkkC.png dkk = ttd 6e 9e v+2e+f truncate zip
ke Conway keC.png kaa v+3e+f 12e 8e Kis expand
to Conway dkeC.png dkaa 8e 12e v+3e+f truncate ortho
ek Conway ekC.png aak 6e 12e v+5e+f expand kis
ok Conway dekC.png daak = dek v+5e+f 12e 6e ortho kis
et Conway etC.png aadkd 6e 12e v+5e+f расширенная операция truncate
ot Conway otC.png daadkd = det v+5e+f 12e 6e ortho truncate
te or ba Conway teC.png dkdaa 8e 12e v+3e+f truncate expand
ko or ma Conway koC.png kdaa = dte
ma = mj
v+3e+f 12e 8e kis ortho
ab or am Conway amC.png aka = ata 6e 12e v+5e+f ambo bevel
jb or jm Conway jmC.png daka = data v+5e+f 12e 6e joined bevel
ee Conway eeC.png aaaa v+7e+f 16e 8e double-expand
oo Conway deeC.png daaaa = dee 8e 16e v+7e+f double-ortho

Хиральные производные операции[править | править код]

Имеются другие производные операции, если используется gyro с операциями ambo, kis или expand и до трёх операций dual.

Оператор(ы) d a k e g a&g k&g e&g g&g
мультипликатор рёбер 1 2 3 4 5 10 15 20 25
Уникальных производных операторов 4 8 4 2
Хиральные порождённые операции
Оператор Пример Название Построение вершин рёбер граней Описание
Conway C.png Затравка v e f Исходный многогранник
ag Conway agC.png as
djsd = djs
v+4e+f 10e 5e ambo gyro
jg Conway dagC.png dag = js
dasd = das
5e 10e v+4e+f joined gyro
ga Conway gaC.png gj
dsjd = dsj
v+5e+f 10e 4e gyro ambo
sa Conway dgaC.png dga = sj
dgjd = dgj
4e 10e v+5e+f snub ambo
kg Conway kgC.png dtsd = dts v+4e+f 15e 10e kis gyro
ts dkgd = dkg 10e 15e v+4e+f truncated snub
gk dstd v+8e+f 15e 6e gyro kis
st dgkd 6e 15e v+8e+f snub truncation
sk dgtd v+8e+f 15e 6e snub kis
gt dskd 6e 15e v+8e+f gyro truncation
ks Conway ksC.png kdg
dtgd = dtg
v+4e+f 15e 10e kis snub
tg dkdg
dksd
10e 15e v+4e+f truncated gyro
eg es
aag
v+9e+f 20e 10e expanded gyro
og os
daagd = daag
10e 20e v+9e+f expanded snub
ge go
gaa
v+11e+f 20e 8e gyro expand
se so
dgaad = dgaa
8e 20e v+11e+f snub expand
gg Conway ggC.png gs
dssd = dss
v+14e+f 25e 10e double-gyro
ss sg
dggd = dgg
10e 25e v+14e+f double-snub

Расширенные операторы[править | править код]

Эти расширенные операторы нельзя создать в общем виде с помощью выше перечисленных базовых операций. Некоторые операторы могут быть созданы как частные случаи с k и t операторами, но применённые к определённым граням и вершинам. Например, куб со снятой фаской, cC, может быть построен как t4daC, как ромбододекаэдр, daC или jC с усечёнными вершинами валентности 4. Поднятый куб lC — это то же самое, что t4kC, квинтододекаэдр qD можно построить как t5daaD, t5deD или t5oD, a дельтоидальный гексеконтаэдр можно построить как deD или oD с усечением вершин с валентностью 5.

Некоторые расширенные операторы образуют последовательность и даны с последующим числом. Например, ortho делит квадратную грань на 4 квадрата, а o3 может делить на 9 квадратов. o3 является уникальным построением, в то время как o4 можно получить как oo, оператор ortho, применённый дважды. Оператор loft может включать индекс подобно оператору kis, чтобы ограничить применение на грани с указанным числом сторон.

Операция chamfer (снятие фаски) создаёт многогранник Голдберга[en] G(2,0) с новыми шестиугольниками между исходными гранями. Последовательные операции chamfer создают G(2n,0).

Расширенные операции
Оператор Пример Название Альтернативное
построение
вершин рёбер граней Описание
Conway C.png Затравка v e f Исходный многогранник
c (от chamfer) Conway cC.png chamfer dud v + 2e  4e f + e Усечение рёбер.
Вместо рёбер вставляются новые шестиугольные грани.
Многогранник Голдберга[en] (0,2)
- Conway dcC.png - dc f + e 4e v + 2e Операция dual после chamfer
u Conway uC.png subdivide dcd v+e 4e f+2e Операция ambo, пока сохраняются исходные вершины
Операция аналогична cхеме Лупа подразделения поверхности[en] для треугольных граней
- Conway duC.png cd f+2e 4e v+e Операция dual после subdivide
l
ln
Conway lC.png loft v+2e  5e f+2e Расширение каждой грани призмой, добавление меньшей копии каждой грани с трапециями между внутренней и внешней гранью.
Conway dlC.png dl
dln
f+2e  5e v+2e Операция dual после loft
Conway ldC.png ld
lnd
f+2e  5e v+2e Операция loft после dual
Conway dldC.png dld
dlnd
v+2e  5e f+2e Операция, сопряжённая с loft
Conway dL0C.png dL0 f+3e 6e v+2e Операция dual после joined-lace
Conway L0dC.png L0d f+2e 6e v+3e Операция joined-lace после dual
Conway dL0d.png dL0d v+3e 6e f+2e Операция, сопряжённая с joined-lace
q Conway qC.png quinto v+3e 6e f+2e Операция ortho с последующим усечением вершин, находящихся в центре исходных граней.
Операция создаёт 2 новых пятиугольника для каждого исходного ребра.
- Conway dqC.png dq f+2e 6e v+3e Операция dual после quinto
Conway qdC.png qd v+2e 6e f+3e Операция quinto после dual
- Conway dqdC.png dqd f+3e 6e v+2e Операция, сопряжённая с quinto
L0 Conway L0C.png joined-lace v+2e 6e f+3e Аналогична операции lace, но с новыми четырёхугольными гранями на месте исходных рёбер
L
Ln
Conway LC.png Lace v+2e 7e f+4e Расширение каждой грани антипризмой, добавление повёрнутой меньшей копии каждой грани с треугольниками между старой и новой гранями.
Индекс может быть добавлен для ограничения операции на грани с указанным числом сторон.
Conway dLC.png dL
dLn
f+4e 7e v+2e Оператор dual после laced
Conway unknown operator on C.png Ld
Ldn
f+2e 7e v+4e Оператор lace после dual
Conway dLdC.png dLd
dLnd
v+4e 7e f+2e Последовательность операций dual, lace, dual
K
Kn
Conway KC.png staKe v+2e+f 7e 4e Подразделение граней с центральными чётырёхугольниками и треугольниками.
Может быть добавлен индекс для ограничения операции на грани с определённым числом сторон.
Conway dKC.png dK
dKn
4e 7e v+2e+f Операция dual после stake
Conway KdC.png Kd v+2e+f 7e 4e Операция stake после dual
Conway dKdC.png dKd 4e 7e v+2e+f Операция, сопряжённая со stake
M3 Conway MC.png edge-medial-3 v+2e+f 7e 4e Операция подобна m3, но не добавляются диагональные рёбра
Conway dMC.png dM3 4e 7e v+2e+f Операция dual после edge-medial-3
Conway MdC.png M3d v+2e+f 7e 4e Операция edge-medial-3 после dual
Conway dMdC.png dM3d 4e 7e v+2e+f Операция, сопряжённая с edge-medial-3
M0 Conway (kk)0C.png joined-medial v+2e+f 8e 5e Операция подобна medial, но с добавлением ромбических граней на месте исходных рёбер.
Conway d(kk)0C.png dM0 v+2e+f 8e 5e Операция dual после joined-medial
Conway d(kk)0dC.png M0d v+2e+f 8e 5e Операция joined-medial после dual
Conway (kk)0dC.png dM0d 5e 8e v+2e+f Операция, сопряжённая с joined-medial
m3 Conway m3C.png medial-3 v+2e+f 9e 7e Триангуляция с добавлением двух вершин на каждое ребро и одной вершины в центре каждой грани.
b3 Conway b3C.png bevel-3 dm3 7e 9e v+2e+f Операция dual после medial-3
Conway m3dC.png m3d 7e 9e v+2e+f Операция medial-3 после dual
Conway dm3dC.png dm3d v+2e+f 9e 7e Операция, сопряжённая с medial-3
o3 Conway o3C.png ortho-3 de3 v+4e 9e f+4e Оператор ortho с делением рёбер на 3
e3 Conway e3C.png expand-3 do3 f+4e 9e v+4e Оператор expand с делением рёбер на 3
X Conway XC.png cross v+f+3e 10e 6e Комбинация операций kis и subdivide. Исходные рёбра делятся пополам и образуются треугольные и четырёхугольные грани.
Conway dXC.png dX 6e 10e v+f+3e Операция dual после cross
Conway XdC.png Xd 6e 10e v+f+3e Операция cross после dual
Conway dXdC.png dXd v+f+3e 10e 6e Операция, сопряжённая с cross
m4 Conway m4C.png medial-4 v+3e+f 12e 8e Триангуляция с добавлением 3 вершин на каждое ребро и вершины в центр каждой грани.
u5 Conway u5C.png subdivide-5 v+8e 25e f+16e Рёбра делятся на 5 частей
Этот оператор делит рёбра и грани так, что образуется 6 треугольников вокруг каждой новой вершины.

Расширенные хиральные операторы[править | править код]

Эти операторы нельзя создать в общем виде из перечисленных выше базовых операций. Художник-геометр Харт[en] создал операцию, которую он назвал пропеллер.

  • p – «propeller» = пропеллер (оператор вращения, создающий четырёхугольники на месте вершин). Эта операция самодвойственна: dpX=pdX.
Расширенные хиральные операции
Оператор Пример Название Альтернативное
построение
вершины рёбра грани Описание
Conway C.png «Затравка» v e f Исходный многогранник
p
rp=p
Conway pC.png propellor v + 2e 5e f + 2e Операция gyro, после которой выполняется ambo на вершинах в центрах исходных граней
- Conway dpC.png - dp = pd f + 2e 5e v + 2e Те же вершины, что и в gyro, но на месте исходных вершин образуются грани
- Conway bigsnub.png 4e 7e v+2e+f Операция подобна snub, но по периметру исходных граней идут пятиугольники, а не треугольники
- Conway dual-bigsnub.png - - v+2e+f 7e 4e
w=w2=w2,1
rw=w
Conway wC.png whirl v+4e 7e f+2e Операция gyro с последующим усечением вершин в центре исходных граней.
Операция создаёт 2 новых шестиугольника для каждого исходного ребра, многогранник Голдберга[en] (2,1)
Производный оператор wrw преобразует G(a,b) в G(7a,7b).
v
rv=v
Conway dwC.png volute dwd f+2e 7e v+4e Оператор dual после whirl, или snub с последующей операцией kis на исходных гранях.
Полученный оператор vrv преобразует геодезический многогранник (a,b) в (7a,7b).
g3
rg3=g3
Conway g5C.png gyro-3 v+6e 11e f+4e Операция gyro создаёт 3 пятиугольника вдоль каждого исходного ребра
s3
rs3=s3
Conway s5C.png snub-3 dg3d = dg3 f+4e 11e v+6e Операция dual после gyro-3, операция snub, делящая рёбра на 4 срединных треугольника и с треугольниками на месте исходных вершин
w3,1
rw3,1=w3,1
Conway w3C.png whirl-3,1 v+8e 13e f+4e Операция создаёт 4 новых шестиугольника для каждого исходного ребра, многогранник Голдберга[en] (3,1)
w3=w3,2
rw3=w3
Conway w3-2.png whirl-3,2 v+12e 19e f+6e Операция создаёт 12 новых шестиугольников для каждого исходного ребра, многогранник Голдберга[en] (3,2)

Операции, сохраняющие исходные рёбра[править | править код]

Эти операции расширения[en] оставляют исходные рёбра и позволяют применять оператор к любому независимому подмножеству граней. Нотация Конвея поддерживает дополнительный индекс для этих операций, указывающий число сторон у вовлечённых в операцию граней.

Оператор kis cup acup loft lace stake kis-kis
Пример kC UC VC lC LC KC kkC
Рёбра 3e 4e-f4 5e-f4 5e 6e 7e 9e
Изображение
на кубе
Conway kC.png Conway cupola-C.png Conway semilace-C.png Conway lC.png Conway LC.png Conway KC.png Conway kkC.png
Расширение Пирамида Купол Антикупол Призма Антипризма

Операторы Коксетера[править | править код]

Операторы Коксетера/Джонсона[en] иногда полезны при смешении с операторами Конвея. Для ясности в нотации Конвея эти операции даны заглавными буквами. t-Нотация Коксетера определяет активные кружки как индексы диаграммы Коксетера — Дынкина. Таким образом, в таблице заглавная T с индексами 0,1,2 определяет однородные операторы из правильной затравки. Нулевой индекс представляет вершины, 1 представляет рёбра, а 2 представляет грани. При T = T0,1 это будет обычным усечением, а R = T1 является полным усечением, или операцией rectify, то же самое, что и оператор Конвея ambo. Например, r{4,3} или t1{4,3} является именем Коксетера для кубооктаэдра, а полноусечённый куб — это RC, то же самое, что ambo куб Конвея, aC.

Расширенные операции Коксетера
Оператор Пример Название Альтернативное
построение
вершины рёбра грани Описание
T0 Conway C.png, t0{4,3} «Затравка» v e f Seed form
R = T1 Conway aC.png, t1{4,3} rectify a e 2e f+v То же самое, что ambo, новые вершины добавляются в середине рёбер, а новые грани заменяют исходные вершины.
Все вершины имеют валентность 4.
T2 Conway dC.png, t2{4,3} dual
birectify
d f e v Операция dual для затравочного многогранника — каждая вершина создаёт новую грань
T = T0,1 Conway tC.png, t0,1{4,3} truncate t 2e 3e v+f Отсекаются все вершины.
T1,2 Conway dkC.png, t1,2{4,3} bitruncate[en] z = td 2e 3e v+f То же самое, что и zip
RR = T0,2 Conway eC.png, t0,2{4,3} cantellate aa=e 2e 4e v+e+f То же самое, что и expand
TR = T0,1,2 Conway bC.png, t0,1,2{4,3} cantitruncate[en] ta 4e 6e v+e+f То же самое, что и bevel

Полуоператоры[править | править код]

плосконосый куб строится как одно из двух альтернирований усечённого кубооктаэдра. sr{4,3} = SRC = HTRC.

.

Многогранники F1bC и F2bC не идентичны и могут сохранять в общем случае полную октаэдральную симметрию.

Оператор semi или demi Коксетера, H (от Half), уменьшает число сторон каждой грани вдвое, а четырёхугольные грани в двуугольники с двумя рёбрами, соединяющими две вершины, и эти два ребра могут быть заменены или не заменены одним ребром. Например, половинка куба, h{4,3}, полукуб, — это HC, представляющий один из двух тетраэдров. Ho сокращает ortho в ambo/Rectify.

Другие semi-операторы (полуоператоры) можно определить с использованием оператора H. Конвей называет оператор Snub (плосконосое усечение) Коксетера S, semi-snub (полуплосконосым усечением), определённым как Ht. Оператор snub[en] s Конвея определяется как SR. Например, SRC — это плосконосый куб, sr{4,3}. Плосконосый октаэдр Коксетера, s{3,4} можно определить как SO, построение пиритоэдральной симметрии для правильного икосаэдра. Это также согласуется с определением правильной плосконосой квадратной антипризмой как SA4.

Оператор semi-gyro, G, определяется как dHt. Это позволяет определить оператор поворачивания Конвея g (gyro) как GR. Например, GRC — это gyro-куб, gC, или пентагональный икоситетраэдр. GO определяет пиритоэдр с пиритоэдральной симметрией, в то время как gT (gyro tetrahedron, гиротетраэдр) определяет тот же самый топологический многогранник с тетраэдральной симметрией.

Оба оператора S и G требуют, чтобы затравочный многогранник имел вершины чётной валентности. Во всех этих полуоператорах имеется два выбора для альтернации вершин для оператора half. Эти две конструкции в общем случае топологически не тождественны. Например, HjC определяет либо куб, либо октаэдр, в зависимости от того, какой набор вершин выбирается.

Другие операторы применимы только к многогранникам с гранями, имеющими чётное число рёбер. Простейшим оператором является semi-join, который является сопряжённым с оператором half, dHd.

Оператор semi-ortho, F, сопряжён с semi-snub. Он добавляет вершину в центр грани и делит пополам все рёбра, но соединяет новыми рёбрами центр только с половиной рёбер, создавая тем самым новые шестиугольные грани. Исходные квадратные грани не требуют наличия центральной вершины, а требует только одно ребро через грань, создающее пару пятиугольников. Например, двенадцатигранник тетартоид может быть построен как FC.

Оператор semi-expand, E, определяется как Htd или Hz. Оператор создаёт треугольные грани. Например, EC создаёт построение с пироэдральной симметрией псевдоикосаэдра[en].

Полуоператоры на многогранниках с гранями, имеющими чётное число сторон
Оператор Пример
(Затравка — куб)
Название Альтернативное
построение
вершин рёбер граней Описание
H = H1
H2
Conway hC.png Conway h1C.png semi-ambo
Half
1 и 2
v/2 e-f4 f-f4+v/2 Alternation[en], удаление половины вершин.
Четырёхугольные грани (f4) редуцируются до одиночных рёбер.
I = I1
I2
Conway semiT1C.png Conway semiT2C.png semi-truncate
1 и 2
v/2+e 2e f+v/2 Усекает каждую вторую вершину
Conway semiN1C.png Conway semiN2C.png semi-needle
1 и 2
dI v/2+f 2e e+v/2 Операция needle каждой второй вершины
F = F1
F2
Conway f1C.png Conway f2C.png semi-ortho
Flex
1 и 2
dHtd = dHz
dSd
v+e+f-f4 3e-f4 e Операция dual после semi-expand — создаются новые вершины на рёбрах и в центрах граней, 2n-угольники делятся на n шестиугольников, четырёхугольные грани (f4) не будут содержать центральной вершины, так что образуется две пятиугольные грани.
E = E1
E2
Conway E1C.png Conway E2C.png semi-expand
Eco
1 и 2
Htd = Hz
dF = Sd
dGd
e 3e-f4 v+e+f-f4 Операция dual после semi-ortho — создаются новые треугольные грани. Исходные грани заменяются многоугольниками с половиной сторон, четырёхугольники (f4) при этом редуцируются до одиночных рёбер.
U = U1
U2
Conway cupola-C.png Conway cupola2-C.png semi-lace
CUp
1 и 2
v+e 4e-f4 2e+f-f4 Наращение граней куполами.
V = V1
V2
Conway semilace-C.png Conway semilace2-C.png semi-lace
Anticup
3 и 4
v+e 5e-f4 3e+f-f4 Наращение граней антикуполами
Conway semiM1C.png Conway semiM2C.png semi-medial
1 и 2
XdH = XJd v+e+f 5e 3e Поочерёдная операция medial относительно диагоналей
Conway semiM3C.png Conway semiM4C.png semi-medial
3 и 4
v+e+f 5e 3e Поочерёдная операция medial относительно медиан (соединяющих середины противоположных сторон)
Conway semiBC.png semi-bevel
1 и 2
dXdH = dXJd 3e 5e v+e+f Поочерёдная операция bevel относительно диагоналей
Conway semiB3C.png semi-bevel
3 и 4
3e 5e v+e+f Поочерёдная операция bevel относительно медиан
Полуоперации на многогранниках с вершинами чётной валентности
Оператор Пример
( Затравка —октаэдр)
Название Альтернативное
построение
вершин рёбер граней Описание
J = J1
J2
Conway dHdO.png Conway dHdO-2.png semi-join
1 и 2
dHd v-v4+f/2 e-v4 f/2 Оператор, сопряжённый с half, оператор join на чередующихся гранях.
4-валентные вершины (v4) редуцируются до 2-валентных и заменяются одним ребром.
Conway semiK2C.png Conway semiK1C.png semi-kis
1 и 2
dId v+f/2 2e f/2+e Операция kis на половине (поочерёдно, не соприкасающихся по ребру) граней
Conway semiZ.png semi-zip
1 и 2
Id f/2+e 2e v+f/2 Операция zip на половине граней
S = S1
S2
Conway SO.png Conway S2O.png semi-snub
1 и 2
Ht
dFd
v-v4+e 3e-v4 f+e Операция dual после semi-gyro — операция snub[en], вращение исходных граней с добавлением новых треугольных граней в получающиеся зазоры.
G = G1
G2
Conway GO.png Conway G2O.png semi-gyro
1 и 2
dHt
dS = Fd
dEd
f+e 3e-v4 v-v4+e Операция dual после semi-snub — создаются пятиугольные и шестиугольные грани вдоль исходных рёбер.
Conway semimedial-dO.png Conway semimedial2-dO.png semi-medial
1 и 2
XdHd = XJ 3e 5e v+e+f Операция medial на половине (не соприкасающихся ребром) граней
Conway sembevel-dO.png semi-bevel
1 и 2
dXdHd = dXJ v+e+f 5e 3e Операция bevel на половине (не соприкасающихся ребром) граней

Подразделения[править | править код]

Операция subdivision (подразделения) делит исходные рёбра на n новых рёбер, а внутренность граней заполняется треугольниками или другими многоугольниками.

Квадратное подразделение[править | править код]

Оператор ortho можно применить в серии степеней двойки четырёхугольных подразделений. Другие подразделения могут быть получены как результат факторизованных подразделений. Оператор propeller, применённый последовательно, даёт 5-орто подразделение. Если затравка имеет нечетырёхугольные грани, они остаются как уменьшенные копии для нечётных операторов ortho.

Примеры на кубе
Ortho o2=o o3 o4=o2 o5
=prp
o6=oo3 o7 o8=o3 o9=o32 o10=oo5
=oprp
Пример Conway C.png Conway oC.png Conway o3C.png Conway deeC.png Conway o5C.png Conway o6C.png Conway o7C.png Conway o8C.png Conway o9C.png Conway o10C.png
Вершины v v+e+f v+4e v+7e+f v+12e v+17e+f v+24e v+31e+f v+40e v+63e+f
Рёбра e 4e 9e 16e 25e 36e 49e 64e 81e 128e
Грани f 2e f+4e 8e f+12e 18e f+24e 32e f+40e 64e
Expand
(dual)
e2=e e3 e4=e2 e5
=dprp
e6=ee3 e7 e8=e3 e9=e32 e10=ee5
=doprp
Пример Conway C.png Conway eC.png Conway e3C.png Conway eeC.png

Хиральное шестиугольное подразделение[править | править код]

Оператор whirl создаёт многогранник Голдберга[en] G(2,1) с новыми шестиугольными гранями вокруг каждой исходной вершины. Две последовательные операции whirls создают G(3,5). В общем случае операция whirl может преобразовать G(a,b) в G(a+3b,2a-b) для a>b и тем же самым хиральным направлением. Если хиральные направления обратны, G(a,b) превращается в G(2a+3b,a-2b) при a>=2b и в G(3a+b,2b-a) при a<2b.

Операторы whirl-n образуют многогранники Голдберга (n,n-1) и могут быть определены путём деления рёбер затравочного многогранника на 2n-1 подрёбер.

Результат операции whirl-n и ей обратной образует (3n2-3n+1,0) многогранник Голдберга[en]. wrw образует (7,0), w3rw3 образует (19,0), w4rw4 образует (37,0), w5rw5 образует (61,0), а w6rw6 образует (91,0). Результат двух операций whirl-n — это ((n-1)(3n-1),2n-1) или (3n2-4n+1,2n-1). Произведение wa на wb даёт (3ab-2(a+b)+1,a+b-1), а wa на обратный wb даёт (3ab-a-2b+1,a-b) для a≥b.

Произведение двух идентичных операторов whirl-n образует многогранник Голдберга ((n-1)(3n-1),2n-1). Произведение k-whirl и zip — это (3k-2,1).

Операторы whirl-n
Название Затравка Whirl Whirl-3 Whirl-4 Whirl-5 Whirl-6 Whirl-7 Whirl-8 Whirl-9 Whirl-10 Whirl-11 Whirl-12 Whirl-13 Whirl-14 Whirl-15 Whirl-16 Whirl-17 Whirl-18 Whirl-19 Whirl-20 Whirl-n
Оператор
(Состоавной)
- w=w2 w3 w4 w5 w6
wrw3,1
w7 w8
w3,1w3,1
w9
ww5,1
w10 w11 w12 w13
ww7,2
w14 w15 w16
ww9,2
w17
w3w6,1
w18 w19
w3,1w7,3
w20
ww11,3
wn
Многогранник Голдберга[en] (1,0) (2,1) (3,2) (4,3) (5,4) (6,5) (7,6) (8,7) (9,8) (10,9) (11,10) (12,11) (13,12) (14,13) (15,14) (16,15) (17,16) (18,17) (19,18) (20,19) (n,n-1)
T
разложение
1 7 19 37 61 91
7×13
127 169
13×13
217
7×31
271 331 397 469
7×67
547 631 721
7×103
817
19×43
919 1027
13×79
1141
7×163
3n(n-1)+1
Пример Conway C.png Conway wC.png Conway w3-2.png Conway w4-3C.png Conway w5-4C.png Conway w6-5C.png Conway w7C.png Conway w8C.png Conway w9C.png
Вершина v v+4e v+12e v+24e v+40e v+60e v+84e v+112e v+144e v+180e v+220e v+264e v+312e v+364e v+420e v+480e v+544e v+612e v+684e v+760e v+2n(n-1)e
Рёбра e 7e 19e 37e 61e 91e 127e 169e 217e 271e 331e 397e 469e 547e 631e 721e 817e 919e 1027e 1141e e+3n(n-1)e
Грани f f+2e f+6e f+12e f+20e f+30e f+42e f+56e f+72e f+90e f+110e f+132e f+156e f+182e f+210e f+240e f+272e f+306e f+342e f+380e f+n(n-1)e
wnwn (1,0) (5,3) (16,5) (33,7) (56,9) (85,11) (120,13) (161,15) (208,17) (261,19) (320,21) (385,23) (456,25) (533,27) (616,29) (705,31) (800,33) (901,35) (1008,37) (1121,39) ((n-1)(3n-1),2n-1)
wnrwn (1,0) (7,0) (19,0) (37,0) (61,0) (91,0) (127,0) (169,0) (217,0) (271,0) (331,0) (397,0) (469,0) (547,0) (631,0) (721,0) (817,0) (919,0) (1027,0) (1141,0) (1+3n(n-1),0)
wnz (1,1) (4,1) (7,1) (10,1) (13,1) (16,1) (19,1) (22,1) (25,1) (28,1) (31,1) (34,1) (37,1) (40,1) (43,1) (46,1) (49,1) (52,1) (55,1) (58,1) (3n-2,1)

Триангулированное подразделение[править | править код]

Триангулированные подразделения u1 to u6 на квадратной грани, повторяя структуру через каждые 3 шага с новыми уровнями треугольников

Операция un делит грани на треугольники путём деления каждого ребра на n частей, называемой n-частотным подразделением геодезического многогранника[en] Бакминстера Фуллера[2].

Операторы Конвея на многогранниках могут построить многие из этих подразделений.

Если все исходные грани являются треугольниками, новые многогранники будут также иметь все грани в виде треугольников, и на месте исходных граней создаются треугольные мозаики. Если исходные многогранники имеют грани с бо́льшим числом сторон, все новые грани не обязательно будут треугольниками. В таких случаях к многограннику сначала можно применить операцию kis с новыми вершинами в центре каждой грани.

Примеры подразделений на кубе
Оператор u1 u2
=u
u3
=x
u4
=uu
u5 u6
=ux
u7
=vrv
u8
=uuu
u9
=xx
Пример Conway C.png Conway uC.png Conway ktC.png Conway u4C.png Conway u5C.png Conway u6C.png Conway u7.png Conway u8C.png Conway u9C.png
Обозначение
Конвея
C uC xC uuC u5C uxC vrvC uuuC xxC
Вершины v v+e v+e+f v+4e v+8e v+11e+f v+16e v+21e v+26e+f
Рёбра e 4e 9e 16e 25e 36e 49e 64e 81e
Грани f f+2e 7e f+8e f+16e 24e f+32e f+42e 54e
Полная триангуляция
Оператор u1k u2k
=uk
u3k
=xk
u4k
=uuk
u5k u6k
=uxk
u7k
=vrvk
u8k
=uuuk
u9k
=xxk
Пример Conway kC.png Conway u2kC.png Conway u3kC.png Conway u4kC.png Conway u5kC.png Conway u6kC.png Conway u7kC.png Conway u8kC.png Conway u9kC.png
Конвей kC ukC xkC uukC u5kC uxkC vrvkC uuukC xxkC
Двойственный
Голдберга
{3,n+}1,1 {3,n+}2,2 {3,n+}3,3 {3,n+}4,4 {3,n+}5,5 {3,n+}6,6 {3,n+}7,7 {3,n+}8,8 {3,n+}9,9

Геодезические многогранники[править | править код]

Операции Конвея могут дублировать некоторые многогранники Голдберга и двойственные геодезическим многогранникам. Число вершин, рёбер и граней многогранника Голдберга[en] G(m,n) можно вычислить исходя из m и n и число новых треугольников в каждом исходном треугольнике вычисляется по формуле T = m2 + mn + n2 = (m + n)2 − mn. Построения (m,0) и (m,m) перечислены ниже обозначения операций Конвея.

Класс I[править | править код]

Для двойственных многогранников Голдберга оператор uk определяется здесь как деление граней с подразделением рёбер на k частей. При этом оператор Конвея u = u2, а его сопряжённый оператор dud является оператором chamfer, c. Этот оператор используется в компьютерной графике, в схеме Лупа подразделения поверхности[en]. Оператор u3 задаётся оператором Конвея kt=x, а его сопряжённый оператор y=dxd=tk. Произведение двух whirl операторов с обращением хиральности, wrw или ww, даёт 7-подразделение в виде многогранника Голдберга[en] G(7,0), так что u7=vrv. Более мелкие подразделения и операции whirl в хиральных парах могут построить дополнительные формы класса I. Операция w(3,1)rw(3,1) даёт многогранник Голдберга G(13,0). Операция w(3,2)rw(3,2) даёт G(19,0).

Class I: Операции подразделения на икосаэдре как геодезические многогранники
(m,0) (1,0) (2,0) (3,0) (4,0) (5,0) (6,0) (7,0) (8,0) (9,0) (10,0) (11,0) (12,0) (13,0) (14,0) (15,0) (16,0)
T 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 256
Операция
Составной
u1 u2=u
=dcd
u3=x
=kt
u4
=u22
=dccd
u5 u6=u2u3
=dctkd
u7
=vv
=dwrwd
u8=u23
=dcccd
u9=u32
=ktkt
u10=u2u5 u11 u12=u22u3
=dccdkt
u13
v3,1v3,1
u14=u2u7
=uvv
=dcwrwd
u15= u3u5
=u5x
u16=u24
=dccccd
Треугольная
грань
Subdivided triangle 01 00.svg Subdivided triangle 02 00.svg Subdivided triangle 03 00.svg Subdivided triangle 04 00.svg Subdivided triangle 05 00.svg Subdivided triangle 06 00.svg Subdivided triangle 07 00.svg Subdivided triangle 08 00.svg Subdivided triangle 09 00.svg Subdivided triangle 10 00.svg Subdivided triangle 11 00.svg Subdivided triangle 12 00.svg Subdivided triangle 13 00.svg Subdivided triangle 14 00.svg Subdivided triangle 15 00.svg Subdivided triangle 16 00.svg
Икосаэдр
Конвей
Геодезический[en]
Uniform polyhedron-53-t2.png
I
{3,5+}1,0
Pentakis icosidodecahedron.png
uI=k5aI
{3,5+}2,0[en]
Conway polyhedron K6k5tI.png
xI=ktI
{3,5+}3,0[en]
Conway polyhedron k6k5at5daD.png
u2I
{3,5+}4,0
Icosahedron subdivision5.png
 
{3,5+}5,0
Conway polyhedron kdkt5daD.png
uxI
{3,5+}6,0
Conway dwrwD.png
vrvI
{3,5+}7,0
Conway dcccD.png
u3I
{3,5+}8,0
Conway ktktI.png
x2I
{3,5+}9,0
10-subdivided icosahedron.png
 
{3,5+}10,0
11-subdivided icosahedron.png
 
{3,5+}11,0
Conway dcctkD.png
u2xI
{3,5+}12,0
13-subdivided icosahedron.png
 
{3,5+}13,0
Conway dcwrwdI.png
uvrvI
{3,5+}14,0
15-subdivided icosahedron.png
 
{3,5+}15,0
Conway dccccD.png
u4I
{3,5+}16,0
Двойственный оператор c y
=tk
cc c5 cy
=ctk
ww
=wrw
ccc y2
=tktk
cc5 c11 ccy
=cctk
w3,1w3,1 cww
=cwrw
c5y cccc
Додекаэдр
Конвей
Голдберг[en]
Uniform polyhedron-53-t0.png
D
{5+,3}1,0
Truncated rhombic triacontahedron.png
cD
{5+,3}2,0[en]
Conway polyhedron Dk6k5tI.png
yD
{5+,3}3,0[en]
Conway polyhedron dk6k5at5daD.png
ccD
{5+,3}4,0
Goldberg polyhedron 5 0.png
c3D
{5+,3}5,0
Conway polyhedron tkt5daD.png
cyD
{5+,3}6,0
Goldberg polyhedron 7 0.png
wrwD
{5+,3}7,0
Conway polyhedron dk6k5adk6k5at5daD.png
cccD
{5+,3}8,0
Conway tdtdtkD.png
y2D
{5+,3}9,0
Goldberg polyhedron 20-0.png
cc5D
{5+,3}10,0
Goldberg polyhedron 11 0.png
c11D
{5+,3}11,0
Conway polyhedron dk5k6adk5k6adktI.png
ccyD
{5+,3}12,0
Goldberg polyhedron 13-0.png
w3,1rw3,1D
{5+,3}13,0
Conway cwrwdI.png
cwrwD
{5+,3}14,0
Goldberg polyhedron 15 0.png
c5yD
{5+,3}15,0
Chamfered chamfered chamfered chamfered dodecahedron.png
ccccD
G{5+,3}16,0
Класс II[править | править код]

Может быть определено также ортогональное подразделение, используя оператор n=kd. Оператор преобразует геодезический многогранник[en] (a,b) в (a+2b,a-b) для a>b. Он преобразует (a,0) в (a,a), а (a,a) в (3a,0). Оператор z=dk делает то же самое для многогранников Голдберга.

Класс II: Операции ортогонального подразделения
(m,m) (1,1) (2,2) (3,3) (4,4) (5,5) (6,6) (7,7) (8,8) (9,9) (10,10) (11,11) (12,12) (13,13) (14,14) (15,15) (16,16)
T=
m2×3
3
1×3
12
4×3
27
3×3
48
24×3
75
25×3
108
36×3
147
49×3
192
64×3
243
81×3
300
100×3
363
121×3
432
144×3
507
169×3
588
196×3
675
225×3
768
256×3
Операция u1n
n
=kd
u2n
=un
=dct
u3n
=xn
=ktkd
u4n
=u22n
=dcct
u5n u6n
=u2=u3n
=dctkt
u7n
=vvn
=dwrwt
u8n
=u23n
=dccct
u9n
=u32n
=ktktkd
u10n
=u2u5n
u11n u12n
=u22u3n
=dcctkt
u13n u14n
=u2u7n
=dcwrwt
u15n
=u3u5n
u16n
=u24n
=dcccct
Треугольная
грань
Subdivided triangle 01 01.svg Subdivided triangle 02 02.svg Subdivided triangle 03 03.svg Subdivided triangle 04 04.svg Subdivided triangle 05 05.svg Subdivided triangle 06 06.svg Subdivided triangle 07 07.svg Subdivided triangle 08 08.svg Subdivided triangle 09 09.svg Subdivided triangle 10 10.svg Subdivided triangle 11 11.svg Subdivided triangle 12 12.svg Subdivided triangle 13 13.svg Subdivided triangle 14 14.svg Subdivided triangle 15 15.svg Subdivided triangle 16 16.svg
Икосаэдр
Конвей
Геодезический[en]
Conway polyhedron kD.png
nI
{3,5+}1,1
Conway polyhedron kt5daD.png
unI
{3,5+}2,2
Conway polyhedron kdktI.png
xnI
{3,5+}3,3
Conway polyhedron k5k6akdk5aD.png
u2nI
{3,5+}4,4
Conway u5zI.png
 
{3,5+}5,5
Conway polyhedron kdkt5daD.png
uxnI
{3,5+}6,6
Conway dwrwtI.png
vrvnI
{3,5+}7,7
Conway dccctI.png
u3nI
{3,5+}8,8
Conway ktktkdI.png
x2nI
{3,5+}9,9

{3,5+}10,10

{3,5+}11,11
Conway dccdktkdI.png
u2xnI
{3,5+}12,12

{3,5+}13,13
Conway dcwrwtI.png
dcwrwdnI
{3,5+}14,14

{3,5+}15,15
Conway dcccctI.png
u4nI
{3,5+}16,16
Двойственный оператор z
=dk
cz
=cdk
yz
=tkdk
c2z
=ccdk
c5z cyz
=ctkdk
wwz
=wrwdk
c3z
=cccdk
y2z
=tktkdk
cc5z c11z c2yz
=c2tkdk
c13z cwwz
=cwrwdk
c3c5z c4z
=ccccdk
Додекаэдр
Конвей
Голдберг[en]
Uniform polyhedron-53-t12.png
zD
{5+,3}1,1
Conway polyhedron dkt5daD.png
czD
{5+,3}2,2[en]
Conway polyhedron dkdktI.png
yzD
{5+,3}3,3
Conway polyhedron dadkt5daD.png
cczD
{5+,3}4,4
Conway du5zI.png
 
{5+,3}5,5
Conway cyzD.png
cyzD
{5+,3}6,6
Conway wrwdkD.png
wrwzD
{5+,3}7,7
Conway cccdkD.png
c3zD
{5+,3}8,8
Conway tktkdkD.png
y2zD
{5+,3}9,9

{5+,3}10,10

G{5+,3}11,11
CctkdkD.png
ccyzD
{5+,3}12,12

{5+,3}13,13
Conway cwwdkD.png
cwrwzD
G{5+,3}14,14

{5+,3}15,15
Conway cccdkD.png
cccczD
{5+,3}16,16
Класс III[править | править код]

Большинство геодезических многогранников и двойственные к многогранникам Голдберга G(n,m) нельзя построить с помощью операторов, производных от операторов Конвея. Операция whirl создаёт многогранник Голдберга[en] G(2,1) с новыми шестиугольными гранями вокруг каждой исходной вершины, а n-whirl образует G(n,n-1). На формах с икосаэдральной симметрией t5g эквивалентен в этом случае whirl. Операция v (=volute = виток, оборот) представляет треугольное подразделение, двойственное whirl. На икосаэдральных формах операция может быть осуществлена с помощью производного оператора k5s, pentakis snub.

Две последовательные операции whirl создают G(3,5). В общем случае операция whirl может преобразовать G(a,b) в G(a+3b,2a-b) для a>b с тем же самым хиральным направлением. Если хиральное направление обратное, G(a,b) становится G(2a+3b,a-2b) для a>=2b, и G(3a+b,2b-a) для a<2b.

Класс III: Операции подразбиения на неравные части
Операция
Составная
v2,1
=v
v3,1 v3,2=v3 v4,1
=vn
v4,2
=vu
v5,1 v4,3=v4 v5,2
=v3n
v6,1 v6,2
=v3,1u
v5,3
=vv
v7,1
=v3n
v5,4=v5 v6,3
=vx
v7,2
T 7 13 19 21
7×3
28
7×4
31 37 39
13×3
43 52
13×4
49
7×7
57
19×3
61 63
9×7
67
Треугольная
грань
Subdivided triangle 02 01.svg Subdivided triangle 03 01.svg Subdivided triangle 03 02.svg Subdivided triangle 04 01.svg Subdivided triangle 04 02.svg Subdivided triangle 05 01.svg Subdivided triangle 04 03.svg Subdivided triangle 05 02.svg Subdivided triangle 06 01.svg Subdivided triangle 06 02.svg Subdivided triangle 07 01.svg Subdivided triangle 05 03.svg Subdivided triangle 05 04.svg Subdivided triangle 06 03.svg Subdivided triangle 07 02.svg
Икосаэдр
Конвей
Геодезический[en]
Conway polyhedron K5sI.png
vI
{3,5+}2,1
Conway polyhedron u5I.png
v3,1I
{3,5+}3,1
Geodesic polyhedron 3 2.png
v3I
{3,5+}3,2
Conway polyhedron K5k6st.png
vnI
{3,5+}4,1
Geodesic polyhedron 4 2.png
vuI
{3,5+}4,2

{3,5+}5,1
Geodesic polyhedron 4 3.png
v4I
{3,5+}4,3
Geodesic polyhedron 5 2.png
v3nI
{3,5+}5,2

{3,5+}6,1
Geodesic polyhedron 6 2.png
v3,1uI
{3,5+}6,2
Conway dwwD.png
vvI
{3,5+}5,3
Geodesic polyhedron 7 1.png
v3nI
{3,5+}7,1
Geodesic polyhedron 5 4.png
v5I
{3,5+}5,4
Conway polyhedron dtkwdI.png
vxI
{3,5+}6,3

v7,2I
{3,5+}7,2
Оператор w w3,1 w3 wz wc w5,1 w4 w3,1z w6,1 w3,1c ww w3z w5 wy w7,2
Додекаэдр
Конвей
Conway polyhedron Dk5sI.png
wD
{5+,3}2,1
Goldberg polyhedron 3 1.png
w3,1D
{5+,3}3,1
Goldberg polyhedron 3 2.png
w3D
{5+,3}3,2
Conway polyhedron Dk5k6st.png
wzD
{5+,3}4,1
Goldberg polyhedron 4 2.png
wcD
{5+,3}4,2
Goldberg polyhedron 5 1.png
w5,1D
{5+,3}5,1
Goldberg polyhedron 4 3.png
w4D
{5+,3}4,3
Goldberg polyhedron 5 2.png
w3zD
{5+,3}5,2

{5+,3}6,1
Goldberg polyhedron 6 2.png
w3,1cD
{5+,3}6,2
Goldberg polyhedron 5 3.png
wwD
{5+,3}5,3
Goldberg polyhedron 7 1.png
w3zD
{5+,3}7,1
Goldberg polyhedron 5 4.png
w5D
{5+,3}5,4
Conway polyhedron tkwD.png
wyD
{5+,3}6,3

w7,2D
{5+,3}7,2
Другие операции класса III: Операции подразбиения на неравные части
Операция
Составная
v8,1 v6,4
=v3u
v7,3 v8,2
=wcz
v6,5=v6
=vrv3,1
v9,1
=vv3,1
v7,4 v8,3 v9,2 v7,5 v10,1
=v4n
v8,4
=vuu
v9,3
=v3,1x
v7,6=v7 v8,6
v4u
T 73 76
19×4
79 84
7×4×3
91
13×7
93 97 103 109 111
37×3
112
7×4×4
117
13×9
127 148
37×4
Треугольная
грань
Subdivided triangle 08 01.svg Subdivided triangle 06 04.svg Subdivided triangle 07 03.svg Subdivided triangle 06 05.svg Subdivided triangle 08 02.svg Subdivided triangle 09 01.svg Subdivided triangle 07 04.svg Subdivided triangle 08 03.svg Subdivided triangle 09 02.svg Subdivided triangle 07 05.svg Subdivided triangle 10 01.svg Subdivided triangle 08 04.svg Subdivided triangle 09 03.svg Subdivided triangle 07 06.svg Subdivided triangle 08 06.svg
Икосаэдр
Конвей
Геодезический[en]

v8,1I
{3,5+}8,1
Geodesic polyhedron 6 4.png
v3uI
{3,5+}6,4

v7,3I
{3,5+}7,3
Geodesic polyhedron 8 2.png
vunI
{3,5+}8,2
Geodesic polyhedron 6 5.png
vv3,1I
{3,5+}6,5
Geodesic polyhedron 9 1.png
vrv3,1I
{3,5+}9,1

v7,4I
{3,5+}7,4

v8,3I
{3,5+}8,3

v9,2I
{3,5+}9,2

v7,5I
{3,5+}7,5
Geodesic polyhedron 10 1.png
v4nI
{3,5+}10,1
Geodesic polyhedron 8 4.png
vuuI
{3,5+}8,4
Geodesic polyhedron 9 3.png
v3,1xI
{3,5+}9,3

v7I
{3,5+}7,6
Geodesic polyhedron 8 6.png
v4uI
{3,5+}8,6
Оператор w8,1 wrw3,1 w7,3 w3,1c wcz w3,1w w7,4 w8,3 w9,2 w7,5 w4z wcc w3,1y w7 w4c
Додекаэдр
Конвей

w8,1D
{5+,3}8,1
Goldberg polyhedron 6 4.png
w3cD
{5+,3}6,4

w7,3D
{5+,3}7,3
Goldberg polyhedron 8 2.png
wczD
{5+,3}8,2
Goldberg polyhedron 6 5.png
ww3,1D
{5+,3}6,5
Goldberg polyhedron 9 1.png
wrw3,1D
{5+,3}9,1

w7,4D
{5+,3}7,4

w8,3D
{5+,3}8,3

w9,2D
{5+,3}9,2

w7,5D
{5+,3}7,5
Goldberg polyhedron 10 1.png
w4zD
{5+,3}10,1
Goldberg polyhedron 8 4.png
wccD
{5+,3}8,4
Goldberg polyhedron 9 3.png
w3,1yD
{5+,3}9,3

w7D
{5+,3}7,6
Goldberg polyhedron 8 6.png
w4cD
{5+,3}8,6

Примеры многогранников по симметрии[править | править код]

Повторение операций, начав с простой формы, может дать многогранники с большим числом граней, сохраняющих симметрию затравки.

Тетраэдральная симметрия[править | править код]

Октаэдральная симметрия[править | править код]

Хиральные

Изоэдральная симметрия[править | править код]

Хиральные

Диэдральная симметрия[править | править код]

Тороидальная симметрия[править | править код]

Тороидальные мозаики существуют на плоском торе, на поверхности дуоцилиндра[en] в четырёхмерном пространстве, но могут быть спроектированы в трёхмерное пространство как обычный тор. Эти мозаики топологически подобны подмножествам мозаик евклидовой плоскости.

Евклидова квадратная симметрия[править | править код]

Евклидова треугольная симметрия[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

  • George W. Hart[en], Sculpture based on Propellorized Polyhedra, Proceedings of MOSAIC 2000, Seattle, WA, August, 2000, pp. 61–70 [1]
  • John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Chapter 21: Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and Tilings // The Symmetries of Things. — 2008. — ISBN 978-1-56881-220-5.
  • {{статья

|ссылка=https://www.researchgate.net/publication/239595462_Visualization_of_Conway_Polyhedron_Notation |заглавие=Visualization of Conway Polyhedron Notation |атор=Hidetoshi Nonaka |издание=World Academy of Science, Engineering and Technology 50 |год=2009

Ссылки[править | править код]