Тривиальные объекты в алгебре

В алгебре (разделе математики), многие алгебраические структуры имеют тривиальные, то есть простейшие объекты. Как множества, они состоят из одного элемента, обозначаемого символом «0», а сам объект — как «{0}», или просто «0» смотря по контексту (например, в точных последовательностях). Объекты, соответствующие тривиальным случаям, важны для унификации рассуждений: например, удобнее сказать, что «решения уравнения T x = 0 всегда составляют линейное пространство», нежели делать оговорку «… либо множество {0}».

Важнейшими из таких объектов являются:

• Тривиальная группа, простейшая из групп.

  Является также простейшей из абелевых групп, и все нижеперечисленные объекты наследуют её структуру, понимаемую как сложение.

• Тривиальное кольцо, простейшее из колец.
• Нулевой (тривиальный, или пустопорождённый) модуль, простейший из модулей над заданным кольцом R).
• Нулевое (или нульмерное) линейное пространство над полем R, простейшее из линейных пространств.
• Нулевая алгебра, простейшая из алгебр над кольцом или над полем R.

В трёх последних случаях умножение на скаляр определяется как κ0 = 0 , где κ ∈ R.

Всякая нулевая алгебра также тривиальна как кольцо. Нулевая алгебра над полем является нулевым линейным пространством, а над кольцом — нулевым модулем.

Трактовка при помощи теории категорий

Морфизмы в и из нулевого объекта

С точки зрения теории категорий, тривиальный объект является терминальным, а иногда (в зависимости от определения морфизма) нулевым (то есть одновременно терминальным и начальным) объектом.

Тривиальный объект единственнен с точностью до изоморфизма.

Терминальность тривиального объекта означает, что морфизм A → {0} существует и единственнен для любого объекта A в категории. Этот морфизм отображает всякий элемент объекта A в 0.

2↕	${\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}$	=	${\begin{bmatrix}\,\\\,\end{bmatrix}}$	[ ]	‹0
	↔ 1		^ 0	↔ 1
Элемент нулевого пространства, записанный как пустой вектор-столбец (справа), умножен на пустую матрицу 2×0 для получения 2-мерного нулевого вектора (слева). Правила умножения матриц соблюдены.

В категориях Rng (колец без обязательной единицы), R-Mod и Vect_R, тривиальное кольцо, нулевые модуль и пространство соответственно являются нулевыми объектами. Нулевой объект по определению начален, то есть морфизм {0} → A существует и единственнен для любого объекта A в категории. Этот морфизм отображает 0, единственный элемент объекта {0}, в нуль 0 ∈ A. Это мономорфизм, и его образ (подмодуль/подпространство в A, порождённый нулём элементов) изоморфен {0}.

Структуры с единицей

В структурах с единицей (нейтральным элементом умножения) дело не так просто. Когда определение морфизма в категории требует их сохранения, тривиальный объект либо является только терминальным (но не начальным), либо не существует вовсе (например, когда определение структуры требует неравенство 1 ≠ 0).

В категории Ring колец с единицами, кольцо целых чисел Z является начальным объектом, а не {0}.

См. также

• Пустая полугруппа
• Тривиальная алгебра

Ссылки

• David Sharpe. Rings and factorization (неопр.). — Cambridge University Press, 1987. — С. 10 : trivial ring. — ISBN 0-521-33718-6.
• Barile, Margherita. Trivial Module (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Barile, Margherita. Zero Module (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.