Нумерация Гёделя

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Нумерация Гёделя — это функция g, сопоставляющая каждому объекту некоторого формального языка её номер. С её помощью можно явно пронумеровать следующие объекты языка: переменные, предметные константы, функциональные символы, предикатные символы и формулы, построенные из них. Построение нумерации Гёделя для объектов теории называется арифметизацией теории — оно позволяет переводить высказывания, аксиомы, теоремы, теории в объекты арифметики. При этом требуется, чтобы нумерация g была эффективно вычислимой и для любого натурального числа можно было определить, является ли оно номером или нет, и если является, то построить соответствующий ему объект языка. Нумерация Гёделя очень похожа на посимвольное кодирование строк числами, но с той разницей, что для кодирования последовательностей номеров букв используется не конкатенация номеров одинаковой длины, а основная теорема арифметики.

Нумерация Гёделя была применена Гёделем в качестве инструмента для доказательства неполноты формальной арифметики.

Вариант нумерации Гёделя формальной теории первого порядка[править | править вики-текст]

Пусть - теория первого порядка, содержащая переменные , предметные константы , функциональные символы и предикатные символы , где - номер, а - арность функционального или предикатного символа.

Каждому символу произвольной теории первого порядка поставим в соответствие его гёделев номер следующим образом:

Гёделев номер произвольной последовательности выражений определим следующим образом: .

Существуют также другие нумерации Гёделя формальной арифметики.

Пример[править | править вики-текст]

Обобщения[править | править вики-текст]

Вообще, нумерацией множества называют всюду определенное сюрьективное отображение . Если , то называют номером объекта . Частные случаи - языки и теории.

Литература[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]