Ньютонов потенциал

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ньюто́новым потенциа́лом называют функцию, заданную в и определяемую как свертка обобщенной функции, называемой в теории потенциала плотностью, с функцией |x|−1:

Потенциал V удовлетворяет уравнению Пуассона: ΔV=−4πρ.

Объёмный потенциал[править | править вики-текст]

Если ρ — интегрируемая функция на некоторой области G и ρ(x)=0, . то ньютонов потенциал, называемый объемным потенциалом можно выразить через интеграл

О гладкости потенциала можно сказать следующее. Если ρ ∈ C(G), то V(x) ∈ C1(ℝ3) и ΔV(x) = 0 при x.

Потенциал простого слоя[править | править вики-текст]

Вместо области G теперь рассматривается ограниченная кусочно-гладкая поверхность с нормалью n, μ — непрерывная функция на S. Ньютоновым потенциалом простого слоя называется свёртка

или в интегральном виде:

Потенциал простого слоя гармоничен вне области S, является непрерывным всюду в ℝ3 и в бесконечно удаленной точке стремится к нулю. Кроме того, если Sповерхность Ляпунова, то на ней наблюдается разрыв нормальной производной потенциала простого слоя:

где индексы «+» и «-» обозначают соответственно внешнюю и внутреннюю производные на S.

В случае постоянной плотности μ и поверхности Ляпунова потенциал простого слоя равен:

Потенциал двойного слоя[править | править вики-текст]

Полностью аналогично потенциалу простого слоя вводится ньютоновский потенциал двойного слоя:

где φ — угол между нормалью к поверхности S в точке y и радиус-вектором, направленном из точки x в точку y.

Потенциал двойного слоя непрерывен в замыкании области, ограничиваемой поверхностью S, непрерывен вне этой области и непрерывен на самой поверхности S, если она является поверхностью Ляпунова, однако при переходе через поверхность S он претерпевает разрыв:

На бесконечности потенциал двойного слоя стремится к нулю.

В случае постоянной плотности ν и поверхности Ляпунова потенциал двойного слоя равен:

Физический смысл ньютоновских потенциалов[править | править вики-текст]

Так как потенциал V удовлетворяет уравнению Пуассона, он может быть создан массами или зарядами, распределенными в пространстве с плотностью ρ. В частности, непрерывное распределение масс или зарядов создает объемный потенциал; если массы или заряды сосредоточены на поверхности, то они создают потенциал простого слоя; если же на поверхности сосредоточены диполи, то это потенциал двойного слоя.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5.

Ссылки[править | править вики-текст]

Потенциал в Большой советской энциклопедии