Нётеров модуль

Нётеров мо́дуль — это модуль, в котором выполняется условие обрыва возрастающих цепей для его подмодулей, упорядоченных по отношению включения.

Исторически, Гильберт был первым математиком, исследовавшим свойства конечнопорождённости подмодулей. В частности, он доказал теорему Гильберта о базисе, согласно которой любой идеал в кольце многочленов от нескольких переменных является конечнопорождённым (это свойство эквивалентно нётеровости). Однако, свойство нётеровости было названо в честь Эмми Нётер, которая первой осознала степень его важности.

Эквивалентные определения и свойства

Существует несколько эквивалентных определений нётерова модуля:

• Любая последовательность подмодулей вида $M_{1}\subsetneq M_{2}\subsetneq M_{3}\subsetneq \ldots \qquad (1)$ стабилизируется, то есть начиная с некоторого $n,\;M_{n}=M_{n+1}=\ldots .$
• В любом непустом множестве подмодулей M существует максимальный элемент. Данное условие эквивалентно первому для любого частично упорядоченного множества (доказательство использует аксиому выбора).
• Каждый подмодуль модуля M является конечнопорождённым.

Последнее определение особенно полезно, и доказательство его эквивалентности исходному определению элементарно:

1. Если модуль удовлетворяет свойству из последнего определения, то он удовлетворяет и свойству из первого. В самом деле, если любой подмодуль конечно порожден, то взяв модуль, являющийся объединением всех подмодулей цепи (1) имеем, что он порожден, скажем, элементами $x_{1},x_{2},\ldots x_{n}$. Тогда существует некоторый элемент цепочки $M_{k}$, содержащий эти x_i и поэтому равный объединению всех M_i. Отсюда $M_{k}=M_{k+1}=M_{k+2}=\ldots$
2. Обратно, если М над кольцом A удовлетворяет свойству из первого определения (эквивалентно, из второго определения) и N — его подмодуль, то во множестве всех конечнопорождённых подмодулей модуля N существует максимальный подмодуль $N'\subset N$. Если $N'\neq N,$ то взяв элемент $x\in N/N'$ и построив модуль $N+Ax$ (или $N+xA$ в некоммутативном случае для правого модуля) мы построим больший конечнопорождённый модуль против предположения. Следовательно, N конечно порождён.

Пусть $M$ — некоторый модуль и $N$ — его подмодуль. $M$ является нётеровым тогда и только тогда, когда $N$ и $M/N$ являются нётеровыми.

Примеры

• Целые числа, рассматриваемые как модуль на кольцом целых чисел, являются нётеровым модулем.
• Пусть $R=M_{n}(K)$ — полное кольцо матриц над произвольным полем $K$ и $M$ — множество векторов-столбцов над этим полем, то $M$ можно сделать модулем над $R,$ задав умножение элемента модуля на элемент кольца как умножение столбца на матрицу. Тогда $M$ является нётеровым модулем.
• Каждый модуль, являющийся конечным множеством, нётеров.
• Каждый конечнопорождённый правый модуль над правым нётеровым кольцом нётеров (см. определение ниже).

Связь с другими структурами

Ассоциативное кольцо с единицей называется нётеровым, если оно является нётеровым модулем над самим собой, то есть удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей для идеалов. В некоммутативном случае выделяют левые нётеровы и правые нётеровы кольца, если же кольцо является нётеровым слева и нётеровым справа, его называют просто нётеровым.

Условие нётеровости может быть определено также для бимодулей: бимодуль называется нётеровым, если он удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей для своих подбимодулей. Может случиться, что бимодуль является нётеровым, тогда как структуры левого и правого модуля на нём не являются нётеровыми.

См. также

• Артинов модуль

Литература

• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972
• Зарисский О., Самюэль Р. Коммутативная алгебра. — М.:ИЛ, 1963
• Ленг С. Алгебра. — М.:Мир, 1968