Обобщённая функция

Обобщённая фу́нкция, или распределе́ние, — математическое понятие, обобщающее классическое понятие функции. Потребность в таком обобщении возникает во многих физических и математических задачах.

Понятие обобщённой функции даёт возможность выразить в математически корректной форме такие идеализированные понятия, как плотность материальной точки, точечного заряда, точечного диполя, (пространственную) плотность простого или двойного слоя, интенсивность мгновенного источника и т. д.

С другой стороны, в понятии обобщённой функции находит отражение тот факт, что реально нельзя измерить значение физической величины в точке, а можно измерять лишь её средние значения в малых окрестностях данной точки. Таким образом, техника обобщённых функций служит удобным и адекватным аппаратом для описания распределений различных физических величин. Математика начала XX века не имела нужных строгих формализмов для оперирования с новым классом зависимостей величин, открытых в физике.

Важный вклад в формирование нового математического подхода к понятию функции в физике принадлежит Η. Μ. Гюнтеру, который предлагал рассматривать вместо точечных характеристик типа плотности соответствующие функции множеств еще в 1916 году и пытался переосмылить на этой основе понятие решения уравнения математической физики. Однако Н.М. Гюнтер не связывал эти идеи с нарождающимся функциональным анализом и квантовой механикой. Фундаментальные идеи, основанные на использовании пространств финитных функций и принципиально новом понятии обобщённой производной были сформулированы в 1935 году С. Л. Соболевым. К аналогичным идеям самостоятельно через десять лет пришёл выдающийся французский математик Л. Шварц, привлекший разработанную к тому времени теорию локально выпуклых пространств и построивший преобразование Фурье обобщённых функций. Соболев и Шварц являются создателями теории распределений — обобщённых функций. Обобщённые функции эмпирически использовались Дираком в его исследованиях по квантовой механике.

В дальнейшем теория обобщённых функций интенсивно развивалась многими математиками и физиками-теоретиками, главным образом в связи с потребностями теоретической и математической физики и теории дифференциальных уравнений.

Определение

Формально обобщённая функция $f$ определяется как линейный непрерывный функционал $\left(f,\varphi \right)$ над тем или иным векторным пространством достаточно «хороших функций» $\varphi$ (так называемых основных функций, другое название — пробные функции): $f:\varphi \mapsto (f,\;\varphi )$.

Условие линейности: $\left(f,\alpha _{1}\varphi _{1}+\alpha _{2}\varphi _{2}\right)=\alpha _{1}\left(f,\varphi _{1}\right)+\alpha _{2}\left(f,\varphi _{2}\right)$.

Условие непрерывности: если $\varphi _{\nu }\rightarrow 0$, то $\left(f,\varphi _{\nu }\right)\rightarrow 0$.

Важным примером основного пространства является пространство $D(\mathbb {R} ^{n})$ — совокупность финитных $C^{\infty }$-функций на $\mathbb {R} ^{n}$, снабжённая естественной для неё топологией: последовательность функций из $D(\mathbb {R} ^{n})$ сходится, если их носители принадлежат фиксированному шару и в нём они $C^{\infty }$-сходятся.

Сопряжённое пространство к $D(\mathbb {R} ^{n})$ есть пространство обобщённых функций $D'(\mathbb {R} ^{n})$.

Сходимость последовательности обобщённых функций из $D'(\mathbb {R} ^{n})$ определяется как слабая сходимость функционалов из $D'(\mathbb {R} ^{n})$, то есть $f_{n}\to f$, в $D'(\mathbb {R} ^{n})$ означает, что $(f_{n},\;\varphi )\to (f,\;\varphi )$, для любой $\varphi \in D(\mathbb {R} ^{n})$.

Для того, чтобы линейный функционал $f$ на $D(\mathbb {R} ^{n})$ был обобщённой функцией, то есть $f\in D'(\mathbb {R} ^{n})$, необходимо и достаточно, чтобы для любого ограниченного открытого множества $\Omega$ существовали числа $K$ и $m$ такие, что

$|(f,\;\varphi )|\leqslant K|\varphi |_{C^{m}}$

для всех $\varphi$ с носителем в $\Omega$.

Если в неравенстве число $m$ можно выбрать не зависящим от $\Omega$, то обобщённая функция $f$ имеет конечный порядок; наименьшее такое $m$ называется порядком $f$.

Простейшими примерами обобщённых функций являются функционалы, порождаемые локально суммируемыми функциями

$(f,\;\varphi )=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}f\varphi .$

Обобщённые функции, определяемые локально суммируемыми функциями $f(x)$ по этой формуле, называются регулярными; остальные обобщённые функции называются сингулярными.

Обобщённые функции, вообще говоря, не имеют значений в отдельных точках. Тем не менее можно говорить о совпадении обобщённой функции с локально суммируемой функцией на открытом множестве: обобщённая функция $f$ из $D'(\mathbb {R} ^{n})$ совпадает в $\Omega$ с локально суммируемой в $\Omega$ функцией $f_{0}(x)$, если

$(f,\;\varphi )=(f_{0},\;\varphi )$

для всех $\varphi$ с носителем в $\Omega$. В частности, при $f_{0}=0$ получается определение того, что обобщённая функция $f$ обращается в нуль внутри $\Omega$.

Множество точек, ни в какой окрестности которых обобщённая функция не обращается в ноль, называется носителем обобщённой функции $f$ и обозначается $\operatorname {supp} f$. Если $\operatorname {supp} f$ компактен, то обобщённая функция $f$ называется финитной.

Примеры

• Любая локально конечная мера $\mu$ определяет обобщённую функцию $f_{\mu }$

$(f_{\mu },\;\varphi )=\int \varphi (x)\,d\mu (x).$

В частности,

• Примером сингулярной обобщённой функции в $\mathbb {R} ^{n}$ служит $\delta$-функция Дирака

$(\delta ,\;\varphi )=\varphi (0).$

Она описывает плотность массы 1, сосредоточенной в точке $x=0$. $\delta$-функция имеет порядок 1.

• Поверхностная $\delta$-функция. Пусть $S$ — кусочно гладкая поверхность и $\lambda$ — непрерывная функция на $S$. Обобщённая функция $f_{S,\;\lambda }$ определяется равенством

$(f_{S,\;\lambda },\;\varphi )=\int \limits _{S}\varphi \lambda .$

При этом $f_{S,\;\lambda }$ — сингулярная обобщённая функция. Эта обобщённая функция описывает пространственную плотность масс или зарядов, сосредоточенных на поверхности $S$ с поверхностной плотностью $\lambda$ (плотность простого слоя).

• Обобщённая функция $\rho \in D'(\mathbb {R} )$ определяемая равенством

$(\rho ,\;\varphi )=\operatorname {v.\!p.} \int \limits _{\mathbb {R} }{\frac {\varphi (x)}{x}}\,dx$

(для гладких финитных функций этому интегралу можно придать смысл) функция $\rho$ сингулярна и её порядок равен 2, однако на открытом множестве $\mathbb {R} \backslash \{0\}$ она регулярна и совпадает с ${\frac {1}{x}}$.

Операции

Линейные операции над обобщёнными функциями вводятся как расширение соответствующих операций над основными функциями.

Замена переменных

Пусть $f\in D'(\mathbb {R} ^{n})$ и $A:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ — гладкая замена переменных. Обобщённая функция $f\circ A$ определяется равенством

$(f\circ A,\;\varphi )=(f,\;\varphi \circ A^{-1}J(A)),$

где $J(A)$ обозначает якобиан $A$. Эту формулу можно применять в частности к линейному отображению $A$, она позволяет определить трансляционно инвариантные, сферически симметричные, центрально симметричные, однородные, периодические, лоренц-инвариантные и т. д. обобщённые функции.

Произведение

Чаще всего определяется произведение обобщённых функций на обычные, а произведение обобщённых функций остается неопределенным.

Пусть $f\in D'(\mathbb {R} ^{n})$ и $a\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$. Произведение $af$ определяется равенством

$(af,\;\varphi )=(f,\;a\varphi ).$

Например $a\delta =a(0)\delta$, $x\rho =1$. Для обычных локально суммируемых функций произведение $af$ совпадает с обычным умножением функций $f(x)$ и $a(x)$.

Однако эта операция произведения, вообще говоря, не допускает распространения на любые обобщённые функции так, чтобы она была ассоциативной и коммутативной.

Действительно, в противном случае получилось бы противоречие:

$(x\delta )\rho =0\cdot \rho =0,$

$(x\rho )\delta =1\cdot \delta =\delta .$

Впрочем, возможно определить умножение любых обобщённых функций, если снять достаточно жёсткое требование, чтобы сужение этой операции на множество непрерывных функций совпадало с обычным произведением. В частности, Ю. М. Широков построил некоммутативную алгебру обобщённых функций. Нынче в Западной Европе и Америке очень популярной (см., напр., список цитированных работ в) является теория обобщённых функций Коломбо (одним из первоисточников которой является книга, для первоначального ознакомления с гораздо чаще используемой на практике т. н. «специальной» алгеброй Коломбо можно просмотреть параграф 8.5 из). В рамках этой теории обобщённые функции являются классами эквивалентности некоторой факторалгебры. Преимуществом алгебры Коломбо является то, что она как ассоциативна, так и коммутативна. Умножение обобщённых функций Коломбо совпадает с обычным умножением при сужении на множество всех гладких (то есть, бесконечно непрерывно дифференцируемых) функций, несостыковка же с умножением непрерывных (но не гладких) функций разрешается при помощи введения понятия ассоциации (менее строгого, чем понятие эквивалентности). Также рассматриваемое умножение прекрасно согласуется со стандартными операциями классического анализа (напр., дифференцированием).

Дифференцирование

Пусть $f\in D'(\mathbb {R} ^{n})$. Обобщённая (слабая) производная ${\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}$ обобщённой функции $f$ определяется равенством

$\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}},\;\varphi \right)=-\left(f,\;{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{i}}}\right).$

Так как операция $\varphi \mapsto {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{i}}}$ линейна и непрерывна из $D(\mathbb {R} ^{n})$ в $D(\mathbb {R} ^{n})$, то функционал, определяемый правой частью равенства, есть обобщённая функция.

Свойства

• Пространство $D'(\mathbb {R} ^{n})$ — полное: если последовательность обобщённых функций $f_{i}$ из $D'(\mathbb {R} ^{n})$ такова, что для любой функции $\varphi \in D(\mathbb {R} ^{n})$ числовая последовательность $(f_{i},\;\varphi )$ сходится, то функционал

$(f,\;\varphi )=\lim _{i\to \infty }(f_{i},\;\varphi )$

принадлежит $D'(\mathbb {R} ^{n})$.

• Всякая $f$ из $D'(\mathbb {R} ^{n})$ есть слабый предел функций из $D(\mathbb {R} ^{n})$. Это свойство иногда берётся в качестве исходного для определения обобщённой функции, из полноты пространства обобщённых функций это приводит к эквивалентному определению.
• Любая обобщённая функция из $D'(\mathbb {R} ^{n})$ бесконечно дифференцируема (в обобщённом смысле).
• Дифференцирование не увеличивает носителя обобщённой функции.
• Для обобщённых функций справедлива формула Лейбница для дифференцирования произведения $af$, где $a\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$.
• Всякая обобщённая функция $f$ из $S'(\mathbb {R} ^{n})$ или $E'(\mathbb {R} ^{n})$ есть некоторая частная производная от непрерывной функции в $\mathbb {R} ^{n}$.
• Для любой обобщённой функции $f$ порядка $N$ с носителем в точке 0 существует единственное представление $(f,\;\varphi )$ в виде линейной комбинации частных производных $\varphi$ в нуле, с порядком меньшим либо равным $N$.

Примеры

Дельта-функция получается при вычислении интеграла Фурье от константы:

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{ipx}\,dp=2\pi \delta (x).$

См. также

• Спор о струне