Образ (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
— это функция из области определения в кодомен . Жёлтый овал внутри — это образ функции .

Образ функции — это множество всех значений, которые дает функция.

В более общем виде, вычисление значения заданной функции для каждого элемента заданного подмножества области определения функции даёт множество, называемое «образом для функции ». Аналогично, обратный образ (или прообраз) заданного подмножества кодомена функции — это множество всех элементов области определения, которые отображаются в элементы множества .

Образ и обратный образ могут также быть определены для общих бинарных отношений, а не только функций.

Определение[править | править код]

Слово «образ» используется тремя связанными способами. В этих определениях — это функция из множества в множество .

Образ элемента[править | править код]

Если является элементом множества , то образ элемента для функции , обозначаемый [1], — это значение функции для аргумента .

Образ подмножества[править | править код]

Образ подмножества для функции , обозначаемый , является подмножеством множества , которое может быть определено с помощью следующей формы записи[2]:

Если нет риска путаницы, записывается просто как . Это соглашение является общепринятым. Предполагаемый смысл должен быть определён из контекста. Это делает f[.] функцией, областью определения которой является степень множества X (множество всех подмножеств множества X), а кодоменом является степень множества Y. См. раздел § Обозначения.

Образ функции[править | править код]

Образ функции — это образ всей области определения, известный также как область значений функции[3].

Обобщение к бинарным отношениям[править | править код]

Если является произвольным бинарным отношением на XY, то множество называется образом отношения . Множество называется областью определения отношения .

Обратный образ[править | править код]

Пусть будет функцией из в . Прообраз или обратный образ множества для функции , обозначаемый , — это подмножество определённое как:

Возможны и другие обозначения, как например: [4] и .[5]

Обратный образ синглтона, обозначаемый или , называется также слоем для или множеством уровня элемента . Множество всех слоёв для элементов — это семейство подмножеств, индексированных элементами .

Например, для функции обратным образом будет . Снова, если нет риска путаницы, может обозначаться как , а можно рассматривать как функцию из множества всех подмножеств (булеана) множества в булеан множества . Обозначение не следует путать с обратной функцией, хотя оно и согласуется с обычной обратной функцией для биекций в том, что обратный образ для является образом для .

Обозначения для образа и обратного образа[править | править код]

Традиционные обозначения, использованные в предыдущих разделах, могут вызвать сложности в понимании. Альтернативой[6] является задание явных имён для образа и прообраза функций между булеанами:

Стрелочные обозначения[править | править код]

  • для
  • для

Обозначения со звёздочками[править | править код]

  • вместо
  • вместо

Другая терминология[править | править код]

  • Альтернативные обозначения , используемые в математической логике и теории множеств, это [7][8].
  • Некоторые книги называют образ областью значений , но этого следует избегать, поскольку термин «область значений» используется широко также для обозначения кодомена функции .

Примеры[править | править код]

  1. определена как
    Образом множества {2, 3} для функции является . Образ функции — это . Прообразом является . Прообразом множества также является . Прообразом множества является пустое множество .
  2. определена как .
    Образ для функции — это , а образ функции — это . Прообраз для — это . Прообраз множества для — это пустое множество, поскольку отрицательные числа не имеют квадратных корней в множестве вещественных чисел.
  3. определена как .
    Слои являются концентричными окружностями вокруг начала координат, единственная точка начала координат или пустого множества в зависимости от того, , или соответственно.
  4. Если — это многообразие, а — это каноническая проекция из касательного расслоения в , то слоями отображения являются касательные пространства для . Это также пример расслоённого пространства.
  5. Факторгруппа — это гомоморфный образ.

Свойства[править | править код]

Контрпримеры[править | править код]

Контрпримеры на основе ,
показывающие, что это равенство обычно
не выполняется для некоторых законов:

Общий случай[править | править код]

Для любой функции и всех подмножеств и выполняются следующие свойства:

Образ Прообраз

(равны, если , т.е. сюръектвна)[9][10]

(равны, если инъективна) [9][10]
[9]
[11] [11]
[11] [11]

Также:

Для нескольких функций[править | править код]

Для функций и с подмножествами и выполняются следующие свойства:

Несколько подмножеств домена или кодомена[править | править код]

Для функции и подмножеств и выполняются следующие свойства:

Образ Прообраз
[11][12]
[11][12]
(равны, если инъективны[13])
[11]
(равны, если инъективна[13])
[11]

(равны , если инъективна)

Результаты для образов и прообразов (булевой) алгебры пересечений и объединений работает для любой коллекции подмножеств, не только для пар подмножеств:

(Здесь может быть бесконечным множеством, даже несчётным.)

Что касается описанной выше алгебры подмножеств, обратная отображающая функция — это гомоморфизм решётки, в то время как отображающая функция — это лишь гомоморфизм полурешёток (т.е., она не всегда сохраняет пересечения).

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Compendium of Mathematical Symbols (англ.) ?. Math Vault (1 марта 2020). Дата обращения: 28 августа 2020.
  2. 5.4: Onto Functions and Images/Preimages of Sets (англ.). Mathematics LibreTexts (5 ноября 2019). Дата обращения: 28 августа 2020.
  3. Weisstein, Eric W. Image (англ.). mathworld.wolfram.com. Дата обращения: 28 августа 2020.
  4. Comprehensive List of Algebra Symbols (англ.) ?. Math Vault (25 марта 2020). Дата обращения: 28 августа 2020.
  5. Dolecki, Mynard, 2016, с. 4-5.
  6. Blyth, 2005, p. 5.
  7. Rubin, 1967.
  8. M. Randall Holmes: Inhomogeneity of the urelements in the usual models of NFU, December 29, 2005, on: Semantic Scholar, p. 2
  9. 1 2 3 Halmos, 1960, с. 39.
  10. 1 2 Munkres, 2000, с. 19.
  11. 1 2 3 4 5 6 7 8 Lee, 2011, с. 388.
  12. 1 2 Kelley, 1985, p. [[1] в «Книгах Google» 85]
  13. 1 2 Munkres, 2000, с. 21.

Литература[править | править код]